Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41710 / 10096
↖ ↑ ↗
← N 77.019692°
E 49.119873°		 ← 137.21 m → N 77.019692°
E 49.125366°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
N 77.018458°
E 49.119873°		 ← 137.22 m →
18 830 m²		 N 77.018458°
E 49.125366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636451721191406 y=0.154060363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636451721191406 × 216)
    floor (0.636451721191406 × 65536)
    floor (41710.5)     		tx = 41710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154060363769531 × 216)
    floor (0.154060363769531 × 65536)
    floor (10096.5)     		ty = 10096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41710 / 10096 ti = "16/41710/10096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41710/10096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41710 ÷ 216
    41710 ÷ 65536     		x = 0.636444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10096 ÷ 216
    10096 ÷ 65536     		y = 0.154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636444091796875 × 2 - 1) × π
    0.27288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85730351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154052734375 × 2 - 1) × π
    0.69189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17365077637183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85730351} λ = 0.85730351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17365077637183))-π/2
    2×atan(8.79031701420744)-π/2
    2×1.45752176647008-π/2
    2.91504353294016-1.57079632675     		φ = 1.34424721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85730351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.119873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34424721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.019692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41710 KachelY 10096 0.85730351 1.34424721 49.119873 77.019692
    Oben rechts KachelX + 1 41711 KachelY 10096 0.85739939 1.34424721 49.125366 77.019692
    Unten links KachelX 41710 KachelY + 1 10097 0.85730351 1.34422567 49.119873 77.018458
    Unten rechts KachelX + 1 41711 KachelY + 1 10097 0.85739939 1.34422567 49.125366 77.018458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34424721-1.34422567) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dl = 137.231340000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34424721-1.34422567) × R
    2.15400000000976e-05 × 6371000     		dr = 137.231340000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85730351-0.85739939) × cos(1.34424721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224616163749478 × 6371000     		do = 137.207116058201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85730351-0.85739939) × cos(1.34422567) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224637153292637 × 6371000     		du = 137.219937551704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34424721)-sin(1.34422567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224616163749478-0.224637153292637)×R²
    abs(0.85739939-0.85730351)×2.09895431582674e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09895431582674e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09895431582674e-05×40589641000000     		ar = 18829.9961503454m²