Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41710 / 10095
↖ ↑ ↗
← N 77.020925°
E 49.119873°		 ← 137.19 m → N 77.020925°
E 49.125366°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.019692°
E 49.119873°		 ← 137.21 m →
18 819 m²		 N 77.019692°
E 49.125366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636451721191406 y=0.154045104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636451721191406 × 216)
    floor (0.636451721191406 × 65536)
    floor (41710.5)     		tx = 41710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154045104980469 × 216)
    floor (0.154045104980469 × 65536)
    floor (10095.5)     		ty = 10095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41710 / 10095 ti = "16/41710/10095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41710/10095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41710 ÷ 216
    41710 ÷ 65536     		x = 0.636444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10095 ÷ 216
    10095 ÷ 65536     		y = 0.154037475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636444091796875 × 2 - 1) × π
    0.27288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85730351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154037475585938 × 2 - 1) × π
    0.691925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17374665017107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85730351} λ = 0.85730351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17374665017107))-π/2
    2×atan(8.79115981569676)-π/2
    2×1.4575325333698-π/2
    2.9150650667396-1.57079632675     		φ = 1.34426874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85730351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.119873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34426874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.020925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41710 KachelY 10095 0.85730351 1.34426874 49.119873 77.020925
    Oben rechts KachelX + 1 41711 KachelY 10095 0.85739939 1.34426874 49.125366 77.020925
    Unten links KachelX 41710 KachelY + 1 10096 0.85730351 1.34424721 49.119873 77.019692
    Unten rechts KachelX + 1 41711 KachelY + 1 10096 0.85739939 1.34424721 49.125366 77.019692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34426874-1.34424721) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34426874-1.34424721) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85730351-0.85739939) × cos(1.34426874) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224595183846626 × 6371000     		do = 137.194300453494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85730351-0.85739939) × cos(1.34424721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.224616163749478 × 6371000     		du = 137.207116058201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34426874)-sin(1.34424721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224595183846626-0.224616163749478)×R²
    abs(0.85739939-0.85730351)×2.09799028521029e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.09799028521029e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.09799028521029e-05×40589641000000     		ar = 18819.4959866038m²