Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4171 / 3051
↖ ↑ ↗
← N 41.672912°
E  3.295898°		 ← 3 649.98 m → N 41.672912°
E  3.339844°		 →
↑
3 650.90 m
↓
↑
3 650.90 m
↓
N 41.640078°
E  3.295898°		 ← 3 651.84 m →
13 329 111 m²		 N 41.640078°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50921630859375 y=0.37249755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50921630859375 × 213)
    floor (0.50921630859375 × 8192)
    floor (4171.5)     		tx = 4171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37249755859375 × 213)
    floor (0.37249755859375 × 8192)
    floor (3051.5)     		ty = 3051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4171 / 3051 ti = "13/4171/3051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4171/3051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4171 ÷ 213
    4171 ÷ 8192     		x = 0.5091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3051 ÷ 213
    3051 ÷ 8192     		y = 0.3724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5091552734375 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05752428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3724365234375 × 2 - 1) × π
    0.255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.801504961647339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05752428} λ = 0.05752428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.801504961647339))-π/2
    2×atan(2.2288928038237)-π/2
    2×1.14906292346155-π/2
    2.2981258469231-1.57079632675     		φ = 0.72732952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05752428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72732952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.672912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4171 KachelY 3051 0.05752428 0.72732952 3.295898 41.672912
    Oben rechts KachelX + 1 4172 KachelY 3051 0.05829127 0.72732952 3.339844 41.672912
    Unten links KachelX 4171 KachelY + 1 3052 0.05752428 0.72675647 3.295898 41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 4172 KachelY + 1 3052 0.05829127 0.72675647 3.339844 41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72732952-0.72675647) × R
    0.000573049999999964 × 6371000     		dl = 3650.90154999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72732952-0.72675647) × R
    0.000573049999999964 × 6371000     		dr = 3650.90154999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05752428-0.05829127) × cos(0.72732952) × R
    0.000766990000000002 × 0.746952605160643 × 6371000     		do = 3649.97889306551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05752428-0.05829127) × cos(0.72675647) × R
    0.000766990000000002 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 3651.84008634976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72732952)-sin(0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746952605160643-0.747333490424122)×R²
    abs(0.05829127-0.05752428)×0.000380885263478903×R²
    0.000766990000000002×0.000380885263478903×6371000²
    0.000766990000000002×0.000380885263478903×40589641000000     		ar = 13329111.4796387m²