Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4171 / 3044
↖ ↑ ↗
← N 41.902277°
E  3.295898°		 ← 3 636.94 m → N 41.902277°
E  3.339844°		 →
↑
3 637.90 m
↓
↑
3 637.90 m
↓
N 41.869561°
E  3.295898°		 ← 3 638.81 m →
13 234 243 m²		 N 41.869561°
E  3.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50921630859375 y=0.37164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50921630859375 × 213)
    floor (0.50921630859375 × 8192)
    floor (4171.5)     		tx = 4171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37164306640625 × 213)
    floor (0.37164306640625 × 8192)
    floor (3044.5)     		ty = 3044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4171 / 3044 ti = "13/4171/3044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4171/3044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4171 ÷ 213
    4171 ÷ 8192     		x = 0.5091552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3044 ÷ 213
    3044 ÷ 8192     		y = 0.37158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5091552734375 × 2 - 1) × π
    0.018310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05752428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37158203125 × 2 - 1) × π
    0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05752428} λ = 0.05752428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806873894404785))-π/2
    2×atan(2.24089176138622)-π/2
    2×1.15106451261269-π/2
    2.30212902522537-1.57079632675     		φ = 0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05752428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4171 KachelY 3044 0.05752428 0.73133270 3.295898 41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 4172 KachelY 3044 0.05829127 0.73133270 3.339844 41.902277
    Unten links KachelX 4171 KachelY + 1 3045 0.05752428 0.73076169 3.295898 41.869561
    Unten rechts KachelX + 1 4172 KachelY + 1 3045 0.05829127 0.73076169 3.339844 41.869561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73133270-0.73076169) × R
    0.000571009999999927 × 6371000     		dl = 3637.90470999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73133270-0.73076169) × R
    0.000571009999999927 × 6371000     		dr = 3637.90470999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05752428-0.05829127) × cos(0.73133270) × R
    0.000766990000000002 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 3636.94367641469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05752428-0.05829127) × cos(0.73076169) × R
    0.000766990000000002 × 0.744666238297177 × 6371000     		du = 3638.80657672871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73133270)-sin(0.73076169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.744666238297177)×R²
    abs(0.05829127-0.05752428)×0.000381234599836744×R²
    0.000766990000000002×0.000381234599836744×6371000²
    0.000766990000000002×0.000381234599836744×40589641000000     		ar = 13234243.4169358m²