Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41707 / 10076
↖ ↑ ↗
← N 77.044346°
E 49.103393°		 ← 136.95 m → N 77.044346°
E 49.108887°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
N 77.043114°
E 49.103393°		 ← 136.96 m →
18 760 m²		 N 77.043114°
E 49.108887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636405944824219 y=0.153755187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636405944824219 × 216)
    floor (0.636405944824219 × 65536)
    floor (41707.5)     		tx = 41707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153755187988281 × 216)
    floor (0.153755187988281 × 65536)
    floor (10076.5)     		ty = 10076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41707 / 10076 ti = "16/41707/10076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41707/10076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41707 ÷ 216
    41707 ÷ 65536     		x = 0.636398315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10076 ÷ 216
    10076 ÷ 65536     		y = 0.15374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636398315429688 × 2 - 1) × π
    0.272796630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85701589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15374755859375 × 2 - 1) × π
    0.6925048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17556825235663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85701589} λ = 0.85701589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17556825235663))-π/2
    2×atan(8.80718840605606)-π/2
    2×1.45773691345548-π/2
    2.91547382691097-1.57079632675     		φ = 1.34467750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85701589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.103393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34467750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.044346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41707 KachelY 10076 0.85701589 1.34467750 49.103393 77.044346
    Oben rechts KachelX + 1 41708 KachelY 10076 0.85711177 1.34467750 49.108887 77.044346
    Unten links KachelX 41707 KachelY + 1 10077 0.85701589 1.34465600 49.103393 77.043114
    Unten rechts KachelX + 1 41708 KachelY + 1 10077 0.85711177 1.34465600 49.108887 77.043114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34467750-1.34465600) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dl = 136.976499999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34467750-1.34465600) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dr = 136.976499999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85701589-0.85711177) × cos(1.34467750) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224196848031416 × 6371000     		do = 136.950976431394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85701589-0.85711177) × cos(1.34465600) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224217800673009 × 6371000     		du = 136.963775383521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34467750)-sin(1.34465600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224196848031416-0.224217800673009)×R²
    abs(0.85711177-0.85701589)×2.09526415929362e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09526415929362e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09526415929362e-05×40589641000000     		ar = 18759.9420016475m²