Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41704 / 10296
↖ ↑ ↗
← N 76.770602°
E 49.086914°		 ← 139.78 m → N 76.770602°
E 49.092407°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
N 76.769345°
E 49.086914°		 ← 139.79 m →
19 539 m²		 N 76.769345°
E 49.092407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636360168457031 y=0.157112121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636360168457031 × 216)
    floor (0.636360168457031 × 65536)
    floor (41704.5)     		tx = 41704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157112121582031 × 216)
    floor (0.157112121582031 × 65536)
    floor (10296.5)     		ty = 10296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41704 / 10296 ti = "16/41704/10296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41704/10296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41704 ÷ 216
    41704 ÷ 65536     		x = 0.6363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10296 ÷ 216
    10296 ÷ 65536     		y = 0.1571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6363525390625 × 2 - 1) × π
    0.272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85672827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    0.685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1544760165238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85672827} λ = 0.85672827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1544760165238))-π/2
    2×atan(8.62337049130478)-π/2
    2×1.45534804818925-π/2
    2.9106960963785-1.57079632675     		φ = 1.33989977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85672827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33989977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.770602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41704 KachelY 10296 0.85672827 1.33989977 49.086914 76.770602
    Oben rechts KachelX + 1 41705 KachelY 10296 0.85682414 1.33989977 49.092407 76.770602
    Unten links KachelX 41704 KachelY + 1 10297 0.85672827 1.33987783 49.086914 76.769345
    Unten rechts KachelX + 1 41705 KachelY + 1 10297 0.85682414 1.33987783 49.092407 76.769345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33989977-1.33987783) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dl = 139.77973999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33989977-1.33987783) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dr = 139.77973999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85672827-0.85682414) × cos(1.33989977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228850379014879 × 6371000     		do = 139.77901266215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85672827-0.85682414) × cos(1.33987783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228871736707496 × 6371000     		du = 139.792057679596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33989977)-sin(1.33987783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228850379014879-0.228871736707496)×R²
    abs(0.85682414-0.85672827)×2.1357692617574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1357692617574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1357692617574e-05×40589641000000     		ar = 19539.1857624833m²