Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41700 / 10101
↖ ↑ ↗
← N 77.013521°
E 49.064941°		 ← 137.27 m → N 77.013521°
E 49.070435°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 77.012286°
E 49.064941°		 ← 137.28 m →
18 848 m²		 N 77.012286°
E 49.070435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636299133300781 y=0.154136657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636299133300781 × 216)
    floor (0.636299133300781 × 65536)
    floor (41700.5)     		tx = 41700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154136657714844 × 216)
    floor (0.154136657714844 × 65536)
    floor (10101.5)     		ty = 10101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41700 / 10101 ti = "16/41700/10101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41700/10101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41700 ÷ 216
    41700 ÷ 65536     		x = 0.63629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10101 ÷ 216
    10101 ÷ 65536     		y = 0.154129028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63629150390625 × 2 - 1) × π
    0.2725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85634477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154129028320312 × 2 - 1) × π
    0.691741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17317140737563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85634477} λ = 0.85634477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17317140737563))-π/2
    2×atan(8.78610421858653)-π/2
    2×1.45746791688068-π/2
    2.91493583376136-1.57079632675     		φ = 1.34413951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85634477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34413951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.013521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41700 KachelY 10101 0.85634477 1.34413951 49.064941 77.013521
    Oben rechts KachelX + 1 41701 KachelY 10101 0.85644065 1.34413951 49.070435 77.013521
    Unten links KachelX 41700 KachelY + 1 10102 0.85634477 1.34411796 49.064941 77.012286
    Unten rechts KachelX + 1 41701 KachelY + 1 10102 0.85644065 1.34411796 49.070435 77.012286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34413951-1.34411796) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34413951-1.34411796) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85634477-0.85644065) × cos(1.34413951) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224721110422919 × 6371000     		do = 137.271222889153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85634477-0.85644065) × cos(1.34411796) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224742109189037 × 6371000     		du = 137.284050016514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34413951)-sin(1.34411796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224721110422919-0.224742109189037)×R²
    abs(0.85644065-0.85634477)×2.09987661173583e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09987661173583e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09987661173583e-05×40589641000000     		ar = 18847.5399614587m²