Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4170 / 3046
↖ ↑ ↗
← N 41.836828°
E  3.251953°		 ← 3 640.67 m → N 41.836828°
E  3.295898°		 →
↑
3 641.60 m
↓
↑
3 641.60 m
↓
N 41.804078°
E  3.251953°		 ← 3 642.53 m →
13 261 252 m²		 N 41.804078°
E  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50909423828125 y=0.37188720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50909423828125 × 213)
    floor (0.50909423828125 × 8192)
    floor (4170.5)     		tx = 4170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37188720703125 × 213)
    floor (0.37188720703125 × 8192)
    floor (3046.5)     		ty = 3046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4170 / 3046 ti = "13/4170/3046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4170/3046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4170 ÷ 213
    4170 ÷ 8192     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3046 ÷ 213
    3046 ÷ 8192     		y = 0.371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.371826171875 × 2 - 1) × π
    0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.805339913616943))-π/2
    2×atan(2.23745691164692)-π/2
    2×1.15049336076877-π/2
    2.30098672153753-1.57079632675     		φ = 0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4170 KachelY 3046 0.05675729 0.73019039 3.251953 41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 4171 KachelY 3046 0.05752428 0.73019039 3.295898 41.836828
    Unten links KachelX 4170 KachelY + 1 3047 0.05675729 0.72961880 3.251953 41.804078
    Unten rechts KachelX + 1 4171 KachelY + 1 3047 0.05752428 0.72961880 3.295898 41.804078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73019039-0.72961880) × R
    0.000571589999999955 × 6371000     		dl = 3641.59988999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73019039-0.72961880) × R
    0.000571589999999955 × 6371000     		dr = 3641.59988999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.73019039) × R
    0.000766989999999995 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 3640.66923581188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.72961880) × R
    0.000766989999999995 × 0.74542855890165 × 6371000     		du = 3642.53165124726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73019039)-sin(0.72961880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.74542855890165)×R²
    abs(0.05752428-0.05675729)×0.000381135371492758×R²
    0.000766989999999995×0.000381135371492758×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381135371492758×40589641000000     		ar = 13261252.1356365m²