Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4170 / 3045
↖ ↑ ↗
← N 41.869561°
E  3.251953°		 ← 3 638.81 m → N 41.869561°
E  3.295898°		 →
↑
3 639.75 m
↓
↑
3 639.75 m
↓
N 41.836828°
E  3.251953°		 ← 3 640.67 m →
13 247 745 m²		 N 41.836828°
E  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50909423828125 y=0.37176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50909423828125 × 213)
    floor (0.50909423828125 × 8192)
    floor (4170.5)     		tx = 4170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37176513671875 × 213)
    floor (0.37176513671875 × 8192)
    floor (3045.5)     		ty = 3045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4170 / 3045 ti = "13/4170/3045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4170/3045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4170 ÷ 213
    4170 ÷ 8192     		x = 0.509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3045 ÷ 213
    3045 ÷ 8192     		y = 0.3717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509033203125 × 2 - 1) × π
    0.01806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05675729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3717041015625 × 2 - 1) × π
    0.256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.806106904010864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05675729} λ = 0.05675729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.806106904010864))-π/2
    2×atan(2.23917367789241)-π/2
    2×1.15077900978642-π/2
    2.30155801957283-1.57079632675     		φ = 0.73076169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05675729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73076169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.869561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4170 KachelY 3045 0.05675729 0.73076169 3.251953 41.869561
    Oben rechts KachelX + 1 4171 KachelY 3045 0.05752428 0.73076169 3.295898 41.869561
    Unten links KachelX 4170 KachelY + 1 3046 0.05675729 0.73019039 3.251953 41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 4171 KachelY + 1 3046 0.05752428 0.73019039 3.295898 41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73076169-0.73019039) × R
    0.000571300000000052 × 6371000     		dl = 3639.75230000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73076169-0.73019039) × R
    0.000571300000000052 × 6371000     		dr = 3639.75230000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.73076169) × R
    0.000766989999999995 × 0.744666238297177 × 6371000     		do = 3638.80657672868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05675729-0.05752428) × cos(0.73019039) × R
    0.000766989999999995 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 3640.66923581188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73076169)-sin(0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744666238297177-0.745047423530157)×R²
    abs(0.05752428-0.05675729)×0.000381185232979586×R²
    0.000766989999999995×0.000381185232979586×6371000²
    0.000766989999999995×0.000381185232979586×40589641000000     		ar = 13247744.7760642m²