Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4170 / 12454
↖ ↑ ↗
← N 39.588757°
W134.187012°		 ← 941.44 m → N 39.588757°
W134.176025°		 →
↑
941.51 m
↓
↑
941.51 m
↓
N 39.580290°
W134.187012°		 ← 941.56 m →
886 428 m²		 N 39.580290°
W134.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127273559570312 y=0.380081176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127273559570312 × 215)
    floor (0.127273559570312 × 32768)
    floor (4170.5)     		tx = 4170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380081176757812 × 215)
    floor (0.380081176757812 × 32768)
    floor (12454.5)     		ty = 12454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4170 / 12454 ti = "15/4170/12454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4170/12454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4170 ÷ 215
    4170 ÷ 32768     		x = 0.12725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12454 ÷ 215
    12454 ÷ 32768     		y = 0.38006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34200517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38006591796875 × 2 - 1) × π
    0.2398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.753568062027283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34200517} λ = -2.34200517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753568062027283))-π/2
    2×atan(2.12456709585969)-π/2
    2×1.13087524401711-π/2
    2.26175048803421-1.57079632675     		φ = 0.69095416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34200517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69095416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.588757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4170 KachelY 12454 -2.34200517 0.69095416 -134.187012 39.588757
    Oben rechts KachelX + 1 4171 KachelY 12454 -2.34181342 0.69095416 -134.176025 39.588757
    Unten links KachelX 4170 KachelY + 1 12455 -2.34200517 0.69080638 -134.187012 39.580290
    Unten rechts KachelX + 1 4171 KachelY + 1 12455 -2.34181342 0.69080638 -134.176025 39.580290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69095416-0.69080638) × R
    0.000147779999999931 × 6371000     		dl = 941.506379999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69095416-0.69080638) × R
    0.000147779999999931 × 6371000     		dr = 941.506379999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34200517--2.34181342) × cos(0.69095416) × R
    0.000191750000000379 × 0.770638305692101 × 6371000     		do = 941.44200178883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34200517--2.34181342) × cos(0.69080638) × R
    0.000191750000000379 × 0.770732473448887 × 6371000     		du = 941.557040816605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69095416)-sin(0.69080638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770638305692101-0.770732473448887)×R²
    abs(-2.34181342--2.34200517)×9.41677567857235e-05×R²
    0.000191750000000379×9.41677567857235e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.41677567857235e-05×40589641000000     		ar = 886427.807685799m²