Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 417 / 734
↖ ↑ ↗
← S 61.270233°
W 33.398438°		 ← 18.791 km → S 61.270233°
W 33.046875°		 →
↑
18.740 km
↓
↑
18.740 km
↓
S 61.438767°
W 33.398438°		 ← 18.690 km →
351.195 km²		 S 61.438767°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40771484375 y=0.71728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40771484375 × 210)
    floor (0.40771484375 × 1024)
    floor (417.5)     		tx = 417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71728515625 × 210)
    floor (0.71728515625 × 1024)
    floor (734.5)     		ty = 734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 417 / 734 ti = "10/417/734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/417/734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 417 ÷ 210
    417 ÷ 1024     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 734 ÷ 210
    734 ÷ 1024     		y = 0.716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716796875 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36217493960352))-π/2
    2×atan(0.25610316187446)-π/2
    2×0.250714515582355-π/2
    0.501429031164709-1.57079632675     		φ = -1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 417 KachelY 734 -0.58291270 -1.06936730 -33.398438 -61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 418 KachelY 734 -0.57677678 -1.06936730 -33.046875 -61.270233
    Unten links KachelX 417 KachelY + 1 735 -0.58291270 -1.07230878 -33.398438 -61.438767
    Unten rechts KachelX + 1 418 KachelY + 1 735 -0.57677678 -1.07230878 -33.046875 -61.438767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06936730--1.07230878) × R
    0.00294148000000005 × 6371000     		dl = 18740.1690800003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06936730--1.07230878) × R
    0.00294148000000005 × 6371000     		dr = 18740.1690800003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-1.06936730) × R
    0.00613591999999996 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 18790.683046215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.57677678) × cos(-1.07230878) × R
    0.00613591999999996 × 0.478097688205388 × 6371000     		du = 18689.769163041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06936730)-sin(-1.07230878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.478097688205388)×R²
    abs(-0.57677678--0.58291270)×0.00258144944608052×R²
    0.00613591999999996×0.00258144944608052×6371000²
    0.00613591999999996×0.00258144944608052×40589641000000     		ar = 351195259.018898m²