Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41699 / 10083
↖ ↑ ↗
← N 77.035722°
E 49.059448°		 ← 137.03 m → N 77.035722°
E 49.064941°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
N 77.034490°
E 49.059448°		 ← 137.04 m →
18 779 m²		 N 77.034490°
E 49.064941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636283874511719 y=0.153861999511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636283874511719 × 216)
    floor (0.636283874511719 × 65536)
    floor (41699.5)     		tx = 41699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153861999511719 × 216)
    floor (0.153861999511719 × 65536)
    floor (10083.5)     		ty = 10083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41699 / 10083 ti = "16/41699/10083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41699/10083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41699 ÷ 216
    41699 ÷ 65536     		x = 0.636276245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10083 ÷ 216
    10083 ÷ 65536     		y = 0.153854370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636276245117188 × 2 - 1) × π
    0.272552490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85624890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153854370117188 × 2 - 1) × π
    0.692291259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17489713576195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85624890} λ = 0.85624890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17489713576195))-π/2
    2×atan(8.80127973868841)-π/2
    2×1.45766165773605-π/2
    2.91532331547209-1.57079632675     		φ = 1.34452699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85624890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.059448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34452699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.035722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41699 KachelY 10083 0.85624890 1.34452699 49.059448 77.035722
    Oben rechts KachelX + 1 41700 KachelY 10083 0.85634477 1.34452699 49.064941 77.035722
    Unten links KachelX 41699 KachelY + 1 10084 0.85624890 1.34450548 49.059448 77.034490
    Unten rechts KachelX + 1 41700 KachelY + 1 10084 0.85634477 1.34450548 49.064941 77.034490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34452699-1.34450548) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dl = 137.040210000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34452699-1.34450548) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dr = 137.040210000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85624890-0.85634477) × cos(1.34452699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224343524090791 × 6371000     		do = 137.026280793352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85624890-0.85634477) × cos(1.34450548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224364485751672 × 6371000     		du = 137.039083919458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34452699)-sin(1.34450548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224343524090791-0.224364485751672)×R²
    abs(0.85634477-0.85624890)×2.09616608817242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09616608817242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09616608817242e-05×40589641000000     		ar = 18778.9875675727m²