Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41696 / 10211
↖ ↑ ↗
← N 76.877033°
E 49.042969°		 ← 138.67 m → N 76.877033°
E 49.048462°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 76.875787°
E 49.042969°		 ← 138.69 m →
19 226 m²		 N 76.875787°
E 49.048462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636238098144531 y=0.155815124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636238098144531 × 216)
    floor (0.636238098144531 × 65536)
    floor (41696.5)     		tx = 41696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155815124511719 × 216)
    floor (0.155815124511719 × 65536)
    floor (10211.5)     		ty = 10211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41696 / 10211 ti = "16/41696/10211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41696/10211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41696 ÷ 216
    41696 ÷ 65536     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10211 ÷ 216
    10211 ÷ 65536     		y = 0.155807495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155807495117188 × 2 - 1) × π
    0.688385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16262528945921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16262528945921))-π/2
    2×atan(8.69393181229178)-π/2
    2×1.4562768408246-π/2
    2.9125536816492-1.57079632675     		φ = 1.34175735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34175735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.877033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41696 KachelY 10211 0.85596128 1.34175735 49.042969 76.877033
    Oben rechts KachelX + 1 41697 KachelY 10211 0.85605715 1.34175735 49.048462 76.877033
    Unten links KachelX 41696 KachelY + 1 10212 0.85596128 1.34173559 49.042969 76.875787
    Unten rechts KachelX + 1 41697 KachelY + 1 10212 0.85605715 1.34173559 49.048462 76.875787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34175735-1.34173559) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dl = 138.632959999177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34175735-1.34173559) × R
    2.17599999998708e-05 × 6371000     		dr = 138.632959999177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85605715) × cos(1.34175735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2270417024035 × 6371000     		do = 138.674295108035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85605715) × cos(1.34173559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227062894088153 × 6371000     		du = 138.687238729846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34175735)-sin(1.34173559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2270417024035-0.227062894088153)×R²
    abs(0.85605715-0.85596128)×2.11916846523108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11916846523108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11916846523108e-05×40589641000000     		ar = 19225.7252138794m²