Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41696 / 10210
↖ ↑ ↗
← N 76.878281°
E 49.042969°		 ← 138.66 m → N 76.878281°
E 49.048462°		 →
↑
138.70 m
↓
↑
138.70 m
↓
N 76.877033°
E 49.042969°		 ← 138.67 m →
19 233 m²		 N 76.877033°
E 49.048462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636238098144531 y=0.155799865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636238098144531 × 216)
    floor (0.636238098144531 × 65536)
    floor (41696.5)     		tx = 41696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155799865722656 × 216)
    floor (0.155799865722656 × 65536)
    floor (10210.5)     		ty = 10210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41696 / 10210 ti = "16/41696/10210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41696/10210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41696 ÷ 216
    41696 ÷ 65536     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10210 ÷ 216
    10210 ÷ 65536     		y = 0.155792236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155792236328125 × 2 - 1) × π
    0.68841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16272116325845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16272116325845))-π/2
    2×atan(8.69476537252261)-π/2
    2×1.45628772399158-π/2
    2.91257544798317-1.57079632675     		φ = 1.34177912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34177912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.878281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41696 KachelY 10210 0.85596128 1.34177912 49.042969 76.878281
    Oben rechts KachelX + 1 41697 KachelY 10210 0.85605715 1.34177912 49.048462 76.878281
    Unten links KachelX 41696 KachelY + 1 10211 0.85596128 1.34175735 49.042969 76.877033
    Unten rechts KachelX + 1 41697 KachelY + 1 10211 0.85605715 1.34175735 49.048462 76.877033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34177912-1.34175735) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dl = 138.696670000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34177912-1.34175735) × R
    2.1770000000032e-05 × 6371000     		dr = 138.696670000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85605715) × cos(1.34177912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227020500872444 × 6371000     		do = 138.66134547216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85605715) × cos(1.34175735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2270417024035 × 6371000     		du = 138.674295108035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34177912)-sin(1.34175735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227020500872444-0.2270417024035)×R²
    abs(0.85605715-0.85596128)×2.12015310559754e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12015310559754e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12015310559754e-05×40589641000000     		ar = 19232.7649110408m²