Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41692 / 10253
↖ ↑ ↗
← N 76.824549°
E 49.020996°		 ← 139.23 m → N 76.824549°
E 49.026489°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 76.823297°
E 49.020996°		 ← 139.25 m →
19 383 m²		 N 76.823297°
E 49.026489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636177062988281 y=0.156455993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636177062988281 × 216)
    floor (0.636177062988281 × 65536)
    floor (41692.5)     		tx = 41692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156455993652344 × 216)
    floor (0.156455993652344 × 65536)
    floor (10253.5)     		ty = 10253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41692 / 10253 ti = "16/41692/10253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41692/10253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41692 ÷ 216
    41692 ÷ 65536     		x = 0.63616943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10253 ÷ 216
    10253 ÷ 65536     		y = 0.156448364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63616943359375 × 2 - 1) × π
    0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156448364257812 × 2 - 1) × π
    0.687103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15859858989113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85557778} λ = 0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15859858989113))-π/2
    2×atan(8.65899434935894)-π/2
    2×1.45581882906616-π/2
    2.91163765813233-1.57079632675     		φ = 1.34084133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34084133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.824549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41692 KachelY 10253 0.85557778 1.34084133 49.020996 76.824549
    Oben rechts KachelX + 1 41693 KachelY 10253 0.85567366 1.34084133 49.026489 76.824549
    Unten links KachelX 41692 KachelY + 1 10254 0.85557778 1.34081948 49.020996 76.823297
    Unten rechts KachelX + 1 41693 KachelY + 1 10254 0.85567366 1.34081948 49.026489 76.823297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34084133-1.34081948) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34084133-1.34081948) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85557778-0.85567366) × cos(1.34084133) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227933705195866 × 6371000     		do = 139.233641160849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85557778-0.85567366) × cos(1.34081948) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227954979976339 × 6371000     		du = 139.246636891987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34084133)-sin(1.34081948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227933705195866-0.227954979976339)×R²
    abs(0.85567366-0.85557778)×2.12747804721469e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12747804721469e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12747804721469e-05×40589641000000     		ar = 19383.1115279185m²