Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41691 / 10091
↖ ↑ ↗
← N 77.025860°
E 49.015503°		 ← 137.13 m → N 77.025860°
E 49.020996°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
N 77.024626°
E 49.015503°		 ← 137.14 m →
18 811 m²		 N 77.024626°
E 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636161804199219 y=0.153984069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636161804199219 × 216)
    floor (0.636161804199219 × 65536)
    floor (41691.5)     		tx = 41691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153984069824219 × 216)
    floor (0.153984069824219 × 65536)
    floor (10091.5)     		ty = 10091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41691 / 10091 ti = "16/41691/10091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41691/10091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41691 ÷ 216
    41691 ÷ 65536     		x = 0.636154174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10091 ÷ 216
    10091 ÷ 65536     		y = 0.153976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636154174804688 × 2 - 1) × π
    0.272308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85548191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153976440429688 × 2 - 1) × π
    0.692047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17413014536803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85548191} λ = 0.85548191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17413014536803))-π/2
    2×atan(8.79453182979608)-π/2
    2×1.45757559091114-π/2
    2.91515118182227-1.57079632675     		φ = 1.34435486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85548191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.015503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34435486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.025860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41691 KachelY 10091 0.85548191 1.34435486 49.015503 77.025860
    Oben rechts KachelX + 1 41692 KachelY 10091 0.85557778 1.34435486 49.020996 77.025860
    Unten links KachelX 41691 KachelY + 1 10092 0.85548191 1.34433333 49.015503 77.024626
    Unten rechts KachelX + 1 41692 KachelY + 1 10092 0.85557778 1.34433333 49.020996 77.024626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34435486-1.34433333) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34435486-1.34433333) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85548191-0.85557778) × cos(1.34435486) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224511263194225 × 6371000     		do = 137.12873378628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85548191-0.85557778) × cos(1.34433333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224532243513454 × 6371000     		du = 137.141548308677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34435486)-sin(1.34433333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224511263194225-0.224532243513454)×R²
    abs(0.85557778-0.85548191)×2.0980319229924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0980319229924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0980319229924e-05×40589641000000     		ar = 18810.5022876545m²