Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41690 / 10266
↖ ↑ ↗
← N 76.808262°
E 49.010010°		 ← 139.39 m → N 76.808262°
E 49.015503°		 →
↑
139.40 m
↓
↑
139.40 m
↓
N 76.807009°
E 49.010010°		 ← 139.40 m →
19 431 m²		 N 76.807009°
E 49.015503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636146545410156 y=0.156654357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636146545410156 × 216)
    floor (0.636146545410156 × 65536)
    floor (41690.5)     		tx = 41690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156654357910156 × 216)
    floor (0.156654357910156 × 65536)
    floor (10266.5)     		ty = 10266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41690 / 10266 ti = "16/41690/10266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41690/10266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41690 ÷ 216
    41690 ÷ 65536     		x = 0.636138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10266 ÷ 216
    10266 ÷ 65536     		y = 0.156646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636138916015625 × 2 - 1) × π
    0.27227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85538604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156646728515625 × 2 - 1) × π
    0.68670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15735223050101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85538604} λ = 0.85538604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15735223050101))-π/2
    2×atan(8.64820885314104)-π/2
    2×1.4556766991885-π/2
    2.911353398377-1.57079632675     		φ = 1.34055707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85538604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34055707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.808262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41690 KachelY 10266 0.85538604 1.34055707 49.010010 76.808262
    Oben rechts KachelX + 1 41691 KachelY 10266 0.85548191 1.34055707 49.015503 76.808262
    Unten links KachelX 41690 KachelY + 1 10267 0.85538604 1.34053519 49.010010 76.807009
    Unten rechts KachelX + 1 41691 KachelY + 1 10267 0.85548191 1.34053519 49.015503 76.807009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34055707-1.34053519) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dl = 139.397480000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34055707-1.34053519) × R
    2.18800000000297e-05 × 6371000     		dr = 139.397480000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85538604-0.85548191) × cos(1.34055707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228210473308782 × 6371000     		do = 139.388166082912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85538604-0.85548191) × cos(1.34053519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228231775880819 × 6371000     		du = 139.401177433382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34055707)-sin(1.34053519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228210473308782-0.228231775880819)×R²
    abs(0.85548191-0.85538604)×2.13025720368631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13025720368631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13025720368631e-05×40589641000000     		ar = 19431.2659694384m²