Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4169 / 12455
↖ ↑ ↗
← N 39.580290°
W134.197998°		 ← 941.56 m → N 39.580290°
W134.187012°		 →
↑
941.57 m
↓
↑
941.57 m
↓
N 39.571822°
W134.197998°		 ← 941.67 m →
886 596 m²		 N 39.571822°
W134.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127243041992188 y=0.380111694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127243041992188 × 215)
    floor (0.127243041992188 × 32768)
    floor (4169.5)     		tx = 4169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380111694335938 × 215)
    floor (0.380111694335938 × 32768)
    floor (12455.5)     		ty = 12455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4169 / 12455 ti = "15/4169/12455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4169/12455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4169 ÷ 215
    4169 ÷ 32768     		x = 0.127227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12455 ÷ 215
    12455 ÷ 32768     		y = 0.380096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.74554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34219692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380096435546875 × 2 - 1) × π
    0.23980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.753376314428802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34219692} λ = -2.34219692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753376314428802))-π/2
    2×atan(2.12415975427588)-π/2
    2×1.13080135548091-π/2
    2.26160271096182-1.57079632675     		φ = 0.69080638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34219692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69080638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.580290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4169 KachelY 12455 -2.34219692 0.69080638 -134.197998 39.580290
    Oben rechts KachelX + 1 4170 KachelY 12455 -2.34200517 0.69080638 -134.187012 39.580290
    Unten links KachelX 4169 KachelY + 1 12456 -2.34219692 0.69065859 -134.197998 39.571822
    Unten rechts KachelX + 1 4170 KachelY + 1 12456 -2.34200517 0.69065859 -134.187012 39.571822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69080638-0.69065859) × R
    0.000147790000000092 × 6371000     		dl = 941.570090000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69080638-0.69065859) × R
    0.000147790000000092 × 6371000     		dr = 941.570090000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34219692--2.34200517) × cos(0.69080638) × R
    0.000191749999999935 × 0.770732473448887 × 6371000     		do = 941.557040814424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34219692--2.34200517) × cos(0.69065859) × R
    0.000191749999999935 × 0.770826630744151 × 6371000     		du = 941.672067061993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69080638)-sin(0.69065859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770732473448887-0.770826630744151)×R²
    abs(-2.34200517--2.34219692)×9.41572952644076e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41572952644076e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41572952644076e-05×40589641000000     		ar = 886596.101911846m²