Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4167 / 4185
↖ ↑ ↗
← S  3.908099°
E  3.120117°		 ← 4 875.13 m → S  3.908099°
E  3.164063°		 →
↑
4 875.03 m
↓
↑
4 875.03 m
↓
S  3.951941°
E  3.120117°		 ← 4 874.87 m →
23 765 762 m²		 S  3.951941°
E  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50872802734375 y=0.51092529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50872802734375 × 213)
    floor (0.50872802734375 × 8192)
    floor (4167.5)     		tx = 4167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51092529296875 × 213)
    floor (0.51092529296875 × 8192)
    floor (4185.5)     		ty = 4185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4167 / 4185 ti = "13/4167/4185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4167/4185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4167 ÷ 213
    4167 ÷ 8192     		x = 0.5086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4185 ÷ 213
    4185 ÷ 8192     		y = 0.5108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    0.017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05445632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.021728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.06826214505896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05445632} λ = 0.05445632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.06826214505896))-π/2
    2×atan(0.934015593908684)-π/2
    2×0.751293566907141-π/2
    1.50258713381428-1.57079632675     		φ = -0.06820919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05445632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.120117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06820919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.908099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4167 KachelY 4185 0.05445632 -0.06820919 3.120117 -3.908099
    Oben rechts KachelX + 1 4168 KachelY 4185 0.05522331 -0.06820919 3.164063 -3.908099
    Unten links KachelX 4167 KachelY + 1 4186 0.05445632 -0.06897438 3.120117 -3.951941
    Unten rechts KachelX + 1 4168 KachelY + 1 4186 0.05522331 -0.06897438 3.164063 -3.951941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06820919--0.06897438) × R
    0.000765189999999999 × 6371000     		dl = 4875.02548999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06820919--0.06897438) × R
    0.000765189999999999 × 6371000     		dr = 4875.02548999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05445632-0.05522331) × cos(-0.06820919) × R
    0.000766989999999995 × 0.997674654963943 × 6371000     		do = 4875.13050708434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05445632-0.05522331) × cos(-0.06897438) × R
    0.000766989999999995 × 0.99762221036369 × 6371000     		du = 4874.87423689711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06820919)-sin(-0.06897438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997674654963943-0.99762221036369)×R²
    abs(0.05522331-0.05445632)×5.24446002523327e-05×R²
    0.000766989999999995×5.24446002523327e-05×6371000²
    0.000766989999999995×5.24446002523327e-05×40589641000000     		ar = 23765761.9868675m²