Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4167 / 12463
↖ ↑ ↗
← N 39.512517°
W134.219971°		 ← 942.48 m → N 39.512517°
W134.208984°		 →
↑
942.53 m
↓
↑
942.53 m
↓
N 39.504041°
W134.219971°		 ← 942.59 m →
888 363 m²		 N 39.504041°
W134.208984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127182006835938 y=0.380355834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127182006835938 × 215)
    floor (0.127182006835938 × 32768)
    floor (4167.5)     		tx = 4167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380355834960938 × 215)
    floor (0.380355834960938 × 32768)
    floor (12463.5)     		ty = 12463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4167 / 12463 ti = "15/4167/12463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4167/12463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4167 ÷ 215
    4167 ÷ 32768     		x = 0.127166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12463 ÷ 215
    12463 ÷ 32768     		y = 0.380340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.74566650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34258041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    0.23931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.751842333640961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34258041} λ = -2.34258041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.751842333640961))-π/2
    2×atan(2.12090383192214)-π/2
    2×1.13020992223411-π/2
    2.26041984446821-1.57079632675     		φ = 0.68962352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34258041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.219971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68962352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.512517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4167 KachelY 12463 -2.34258041 0.68962352 -134.219971 39.512517
    Oben rechts KachelX + 1 4168 KachelY 12463 -2.34238866 0.68962352 -134.208984 39.512517
    Unten links KachelX 4167 KachelY + 1 12464 -2.34258041 0.68947558 -134.219971 39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 4168 KachelY + 1 12464 -2.34238866 0.68947558 -134.208984 39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68962352-0.68947558) × R
    0.000147940000000069 × 6371000     		dl = 942.525740000437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68962352-0.68947558) × R
    0.000147940000000069 × 6371000     		dr = 942.525740000437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34258041--2.34238866) × cos(0.68962352) × R
    0.000191749999999935 × 0.771485603852687 × 6371000     		do = 942.477094476075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34258041--2.34238866) × cos(0.68947558) × R
    0.000191749999999935 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 942.592072603678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68962352)-sin(0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771485603852687-0.771579721758282)×R²
    abs(-2.34238866--2.34258041)×9.41179055949926e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41179055949926e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41179055949926e-05×40589641000000     		ar = 888363.107446604m²