Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4166 / 12478
↖ ↑ ↗
← N 39.385264°
W134.230957°		 ← 944.20 m → N 39.385264°
W134.219971°		 →
↑
944.25 m
↓
↑
944.25 m
↓
N 39.376772°
W134.230957°		 ← 944.32 m →
891 612 m²		 N 39.376772°
W134.219971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127151489257812 y=0.380813598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127151489257812 × 215)
    floor (0.127151489257812 × 32768)
    floor (4166.5)     		tx = 4166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380813598632812 × 215)
    floor (0.380813598632812 × 32768)
    floor (12478.5)     		ty = 12478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4166 / 12478 ti = "15/4166/12478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4166/12478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4166 ÷ 215
    4166 ÷ 32768     		x = 0.12713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12478 ÷ 215
    12478 ÷ 32768     		y = 0.38079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34277216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38079833984375 × 2 - 1) × π
    0.2384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748966119663757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34277216} λ = -2.34277216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748966119663757))-π/2
    2×atan(2.11481242297356)-π/2
    2×1.12909942852342-π/2
    2.25819885704683-1.57079632675     		φ = 0.68740253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34277216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68740253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.385264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4166 KachelY 12478 -2.34277216 0.68740253 -134.230957 39.385264
    Oben rechts KachelX + 1 4167 KachelY 12478 -2.34258041 0.68740253 -134.219971 39.385264
    Unten links KachelX 4166 KachelY + 1 12479 -2.34277216 0.68725432 -134.230957 39.376772
    Unten rechts KachelX + 1 4167 KachelY + 1 12479 -2.34258041 0.68725432 -134.219971 39.376772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68740253-0.68725432) × R
    0.000148209999999982 × 6371000     		dl = 944.245909999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68740253-0.68725432) × R
    0.000148209999999982 × 6371000     		dr = 944.245909999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34277216--2.34258041) × cos(0.68740253) × R
    0.000191749999999935 × 0.772896797633342 × 6371000     		do = 944.201064187878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34277216--2.34258041) × cos(0.68725432) × R
    0.000191749999999935 × 0.77299083309468 × 6371000     		du = 944.31594159834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68740253)-sin(0.68725432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772896797633342-0.77299083309468)×R²
    abs(-2.34258041--2.34277216)×9.40354613377936e-05×R²
    0.000191749999999935×9.40354613377936e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.40354613377936e-05×40589641000000     		ar = 891612.230971626m²