Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4166 / 12458
↖ ↑ ↗
← N 39.554883°
W134.230957°		 ← 941.90 m → N 39.554883°
W134.219971°		 →
↑
941.89 m
↓
↑
941.89 m
↓
N 39.546412°
W134.230957°		 ← 942.02 m →
887 221 m²		 N 39.546412°
W134.219971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127151489257812 y=0.380203247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127151489257812 × 215)
    floor (0.127151489257812 × 32768)
    floor (4166.5)     		tx = 4166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380203247070312 × 215)
    floor (0.380203247070312 × 32768)
    floor (12458.5)     		ty = 12458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4166 / 12458 ti = "15/4166/12458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4166/12458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4166 ÷ 215
    4166 ÷ 32768     		x = 0.12713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12458 ÷ 215
    12458 ÷ 32768     		y = 0.38018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34277216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    0.2396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.752801071633362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34277216} λ = -2.34277216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752801071633362))-π/2
    2×atan(2.12293819806026)-π/2
    2×1.13057963570766-π/2
    2.26115927141531-1.57079632675     		φ = 0.69036294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34277216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69036294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.554883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4166 KachelY 12458 -2.34277216 0.69036294 -134.230957 39.554883
    Oben rechts KachelX + 1 4167 KachelY 12458 -2.34258041 0.69036294 -134.219971 39.554883
    Unten links KachelX 4166 KachelY + 1 12459 -2.34277216 0.69021510 -134.230957 39.546412
    Unten rechts KachelX + 1 4167 KachelY + 1 12459 -2.34258041 0.69021510 -134.219971 39.546412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69036294-0.69021510) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dl = 941.888640000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69036294-0.69021510) × R
    0.00014784000000001 × 6371000     		dr = 941.888640000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34277216--2.34258041) × cos(0.69036294) × R
    0.000191749999999935 × 0.771014939400902 × 6371000     		do = 941.902112308194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34277216--2.34258041) × cos(0.69021510) × R
    0.000191749999999935 × 0.771109078008257 × 6371000     		du = 942.01711572588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69036294)-sin(0.69021510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771014939400902-0.771109078008257)×R²
    abs(-2.34258041--2.34277216)×9.41386073556316e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41386073556316e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41386073556316e-05×40589641000000     		ar = 887221.061397205m²