Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4164 / 12468
↖ ↑ ↗
← N 39.470125°
W134.252929°		 ← 943 m → N 39.470125°
W134.241944°		 →
↑
943.10 m
↓
↑
943.10 m
↓
N 39.461644°
W134.252929°		 ← 943.12 m →
889 399 m²		 N 39.461644°
W134.241944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127090454101562 y=0.380508422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127090454101562 × 215)
    floor (0.127090454101562 × 32768)
    floor (4164.5)     		tx = 4164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380508422851562 × 215)
    floor (0.380508422851562 × 32768)
    floor (12468.5)     		ty = 12468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4164 / 12468 ti = "15/4164/12468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4164/12468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4164 ÷ 215
    4164 ÷ 32768     		x = 0.1270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12468 ÷ 215
    12468 ÷ 32768     		y = 0.3804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3804931640625 × 2 - 1) × π
    0.239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.75088359564856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34315565} λ = -2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75088359564856))-π/2
    2×atan(2.11887141527345)-π/2
    2×1.1298399831688-π/2
    2.25967996633761-1.57079632675     		φ = 0.68888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.470125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4164 KachelY 12468 -2.34315565 0.68888364 -134.252929 39.470125
    Oben rechts KachelX + 1 4165 KachelY 12468 -2.34296391 0.68888364 -134.241944 39.470125
    Unten links KachelX 4164 KachelY + 1 12469 -2.34315565 0.68873561 -134.252929 39.461644
    Unten rechts KachelX + 1 4165 KachelY + 1 12469 -2.34296391 0.68873561 -134.241944 39.461644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68888364-0.68873561) × R
    0.000148029999999966 × 6371000     		dl = 943.099129999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68888364-0.68873561) × R
    0.000148029999999966 × 6371000     		dr = 943.099129999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34315565--2.34296391) × cos(0.68888364) × R
    0.000191739999999996 × 0.771956138911908 × 6371000     		do = 943.002737247608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34315565--2.34296391) × cos(0.68873561) × R
    0.000191739999999996 × 0.772050229541985 × 6371000     		du = 943.117676059853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68888364)-sin(0.68873561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771956138911908-0.772050229541985)×R²
    abs(-2.34296391--2.34315565)×9.40906300768152e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40906300768152e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40906300768152e-05×40589641000000     		ar = 889399.262057244m²