Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4162 / 3866
↖ ↑ ↗
← N 79.635922°
W134.274902°		 ← 219.78 m → N 79.635922°
W134.263916°		 →
↑
219.80 m
↓
↑
219.80 m
↓
N 79.633945°
W134.274902°		 ← 219.82 m →
48 311 m²		 N 79.633945°
W134.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127029418945312 y=0.117996215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127029418945312 × 215)
    floor (0.127029418945312 × 32768)
    floor (4162.5)     		tx = 4162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117996215820312 × 215)
    floor (0.117996215820312 × 32768)
    floor (3866.5)     		ty = 3866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4162 / 3866 ti = "15/4162/3866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4162/3866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4162 ÷ 215
    4162 ÷ 32768     		x = 0.12701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3866 ÷ 215
    3866 ÷ 32768     		y = 0.11798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34353915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11798095703125 × 2 - 1) × π
    0.7640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40029643777545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34353915} λ = -2.34353915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40029643777545))-π/2
    2×atan(11.0264445509069)-π/2
    2×1.48035268260687-π/2
    2.96070536521374-1.57079632675     		φ = 1.38990904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34353915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38990904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.635922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4162 KachelY 3866 -2.34353915 1.38990904 -134.274902 79.635922
    Oben rechts KachelX + 1 4163 KachelY 3866 -2.34334740 1.38990904 -134.263916 79.635922
    Unten links KachelX 4162 KachelY + 1 3867 -2.34353915 1.38987454 -134.274902 79.633945
    Unten rechts KachelX + 1 4163 KachelY + 1 3867 -2.34334740 1.38987454 -134.263916 79.633945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38990904-1.38987454) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dl = 219.799499999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38990904-1.38987454) × R
    3.44999999999374e-05 × 6371000     		dr = 219.799499999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34353915--2.34334740) × cos(1.38990904) × R
    0.000191749999999935 × 0.17990245435513 × 6371000     		do = 219.775899411486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34353915--2.34334740) × cos(1.38987454) × R
    0.000191749999999935 × 0.179936391361755 × 6371000     		du = 219.817358190806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38990904)-sin(1.38987454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17990245435513-0.179936391361755)×R²
    abs(-2.34334740--2.34353915)×3.39370066246569e-05×R²
    0.000191749999999935×3.39370066246569e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.39370066246569e-05×40589641000000     		ar = 48311.1891163271m²