Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4162 / 13118
↖ ↑ ↗
← N 33.742613°
W134.274902°		 ← 1 015.84 m → N 33.742613°
W134.263916°		 →
↑
1 015.86 m
↓
↑
1 015.86 m
↓
N 33.733477°
W134.274902°		 ← 1 015.95 m →
1 032 006 m²		 N 33.733477°
W134.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127029418945312 y=0.400344848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127029418945312 × 215)
    floor (0.127029418945312 × 32768)
    floor (4162.5)     		tx = 4162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400344848632812 × 215)
    floor (0.400344848632812 × 32768)
    floor (13118.5)     		ty = 13118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4162 / 13118 ti = "15/4162/13118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4162/13118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4162 ÷ 215
    4162 ÷ 32768     		x = 0.12701416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13118 ÷ 215
    13118 ÷ 32768     		y = 0.40032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.7459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34353915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40032958984375 × 2 - 1) × π
    0.1993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.626247656636414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34353915} λ = -2.34353915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.626247656636414))-π/2
    2×atan(1.8705783416042)-π/2
    2×1.07985800898511-π/2
    2.15971601797022-1.57079632675     		φ = 0.58891969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34353915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58891969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.742613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4162 KachelY 13118 -2.34353915 0.58891969 -134.274902 33.742613
    Oben rechts KachelX + 1 4163 KachelY 13118 -2.34334740 0.58891969 -134.263916 33.742613
    Unten links KachelX 4162 KachelY + 1 13119 -2.34353915 0.58876024 -134.274902 33.733477
    Unten rechts KachelX + 1 4163 KachelY + 1 13119 -2.34334740 0.58876024 -134.263916 33.733477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58891969-0.58876024) × R
    0.00015944999999995 × 6371000     		dl = 1015.85594999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58891969-0.58876024) × R
    0.00015944999999995 × 6371000     		dr = 1015.85594999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34353915--2.34334740) × cos(0.58891969) × R
    0.000191749999999935 × 0.831541236477121 × 6371000     		do = 1015.84341247364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34353915--2.34334740) × cos(0.58876024) × R
    0.000191749999999935 × 0.831629794485389 × 6371000     		du = 1015.95159841244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58891969)-sin(0.58876024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831541236477121-0.831629794485389)×R²
    abs(-2.34334740--2.34353915)×8.85580082680137e-05×R²
    0.000191749999999935×8.85580082680137e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.85580082680137e-05×40589641000000     		ar = 1032005.52768065m²