Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41618 / 8338
↖ ↑ ↗
← N 79.019620°
E 48.614502°		 ← 116.35 m → N 79.019620°
E 48.619995°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
N 79.018574°
E 48.614502°		 ← 116.36 m →
13 536 m²		 N 79.018574°
E 48.619995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635047912597656 y=0.127235412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635047912597656 × 216)
    floor (0.635047912597656 × 65536)
    floor (41618.5)     		tx = 41618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127235412597656 × 216)
    floor (0.127235412597656 × 65536)
    floor (8338.5)     		ty = 8338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41618 / 8338 ti = "16/41618/8338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41618/8338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41618 ÷ 216
    41618 ÷ 65536     		x = 0.635040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8338 ÷ 216
    8338 ÷ 65536     		y = 0.127227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.635040283203125 × 2 - 1) × π
    0.27008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84848312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127227783203125 × 2 - 1) × π
    0.74554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34219691543594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84848312} λ = 0.84848312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34219691543594))-π/2
    2×atan(10.404068332131)-π/2
    2×1.4749744346853-π/2
    2.9499488693706-1.57079632675     		φ = 1.37915254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84848312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.614502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37915254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.019620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41618 KachelY 8338 0.84848312 1.37915254 48.614502 79.019620
    Oben rechts KachelX + 1 41619 KachelY 8338 0.84857900 1.37915254 48.619995 79.019620
    Unten links KachelX 41618 KachelY + 1 8339 0.84848312 1.37913428 48.614502 79.018574
    Unten rechts KachelX + 1 41619 KachelY + 1 8339 0.84857900 1.37913428 48.619995 79.018574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37915254-1.37913428) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dl = 116.334460000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37915254-1.37913428) × R
    1.82600000000477e-05 × 6371000     		dr = 116.334460000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84848312-0.84857900) × cos(1.37915254) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190472844692162 × 6371000     		do = 116.350619079941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84848312-0.84857900) × cos(1.37913428) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190490770364814 × 6371000     		du = 116.36156900361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37915254)-sin(1.37913428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190472844692162-0.190490770364814)×R²
    abs(0.84857900-0.84848312)×1.79256726517696e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79256726517696e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79256726517696e-05×40589641000000     		ar = 13536.2233683734m²