Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41611 / 10121
↖ ↑ ↗
← N 76.988809°
E 48.576050°		 ← 137.51 m → N 76.988809°
E 48.581543°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 76.987572°
E 48.576050°		 ← 137.53 m →
18 916 m²		 N 76.987572°
E 48.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634941101074219 y=0.154441833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634941101074219 × 216)
    floor (0.634941101074219 × 65536)
    floor (41611.5)     		tx = 41611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154441833496094 × 216)
    floor (0.154441833496094 × 65536)
    floor (10121.5)     		ty = 10121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41611 / 10121 ti = "16/41611/10121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41611/10121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41611 ÷ 216
    41611 ÷ 65536     		x = 0.634933471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10121 ÷ 216
    10121 ÷ 65536     		y = 0.154434204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634933471679688 × 2 - 1) × π
    0.269866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84781201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154434204101562 × 2 - 1) × π
    0.691131591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17125393139082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84781201} λ = 0.84781201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17125393139082))-π/2
    2×atan(8.76927321642554)-π/2
    2×1.45725226681716-π/2
    2.91450453363433-1.57079632675     		φ = 1.34370821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84781201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.576050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34370821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.988809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41611 KachelY 10121 0.84781201 1.34370821 48.576050 76.988809
    Oben rechts KachelX + 1 41612 KachelY 10121 0.84790788 1.34370821 48.581543 76.988809
    Unten links KachelX 41611 KachelY + 1 10122 0.84781201 1.34368662 48.576050 76.987572
    Unten rechts KachelX + 1 41612 KachelY + 1 10122 0.84790788 1.34368662 48.581543 76.987572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34370821-1.34368662) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34370821-1.34368662) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84781201-0.84790788) × cos(1.34370821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225141358201541 × 6371000     		do = 137.513588110687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84781201-0.84790788) × cos(1.34368662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225162393849784 × 6371000     		du = 137.526436427368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34370821)-sin(1.34368662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225141358201541-0.225162393849784)×R²
    abs(0.84790788-0.84781201)×2.10356482431284e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10356482431284e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10356482431284e-05×40589641000000     		ar = 18915.8625609887m²