Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41604 / 10117
↖ ↑ ↗
← N 76.993755°
E 48.537598°		 ← 137.46 m → N 76.993755°
E 48.543091°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 76.992519°
E 48.537598°		 ← 137.48 m →
18 900 m²		 N 76.992519°
E 48.543091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634834289550781 y=0.154380798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634834289550781 × 216)
    floor (0.634834289550781 × 65536)
    floor (41604.5)     		tx = 41604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154380798339844 × 216)
    floor (0.154380798339844 × 65536)
    floor (10117.5)     		ty = 10117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41604 / 10117 ti = "16/41604/10117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41604/10117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41604 ÷ 216
    41604 ÷ 65536     		x = 0.63482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10117 ÷ 216
    10117 ÷ 65536     		y = 0.154373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63482666015625 × 2 - 1) × π
    0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154373168945312 × 2 - 1) × π
    0.691253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17163742658778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84714089} λ = 0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17163742658778))-π/2
    2×atan(8.77263683550954)-π/2
    2×1.45729542906818-π/2
    2.91459085813635-1.57079632675     		φ = 1.34379453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34379453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.993755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41604 KachelY 10117 0.84714089 1.34379453 48.537598 76.993755
    Oben rechts KachelX + 1 41605 KachelY 10117 0.84723676 1.34379453 48.543091 76.993755
    Unten links KachelX 41604 KachelY + 1 10118 0.84714089 1.34377295 48.537598 76.992519
    Unten rechts KachelX + 1 41605 KachelY + 1 10118 0.84723676 1.34377295 48.543091 76.992519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34379453-1.34377295) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34379453-1.34377295) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84714089-0.84723676) × cos(1.34379453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225057253533041 × 6371000     		do = 137.462218007768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84714089-0.84723676) × cos(1.34377295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225078279857403 × 6371000     		du = 137.475060629536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34379453)-sin(1.34377295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225057253533041-0.225078279857403)×R²
    abs(0.84723676-0.84714089)×2.10263243620168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10263243620168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10263243620168e-05×40589641000000     		ar = 18900.0380905103m²