Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41604 / 10116
↖ ↑ ↗
← N 76.994992°
E 48.537598°		 ← 137.45 m → N 76.994992°
E 48.543091°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 76.993755°
E 48.537598°		 ← 137.46 m →
18 898 m²		 N 76.993755°
E 48.543091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634834289550781 y=0.154365539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634834289550781 × 216)
    floor (0.634834289550781 × 65536)
    floor (41604.5)     		tx = 41604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154365539550781 × 216)
    floor (0.154365539550781 × 65536)
    floor (10116.5)     		ty = 10116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41604 / 10116 ti = "16/41604/10116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41604/10116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41604 ÷ 216
    41604 ÷ 65536     		x = 0.63482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10116 ÷ 216
    10116 ÷ 65536     		y = 0.15435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63482666015625 × 2 - 1) × π
    0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15435791015625 × 2 - 1) × π
    0.6912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17173330038702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84714089} λ = 0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17173330038702))-π/2
    2×atan(8.7734779418517)-π/2
    2×1.4573062171112-π/2
    2.9146124342224-1.57079632675     		φ = 1.34381611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34381611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.994992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41604 KachelY 10116 0.84714089 1.34381611 48.537598 76.994992
    Oben rechts KachelX + 1 41605 KachelY 10116 0.84723676 1.34381611 48.543091 76.994992
    Unten links KachelX 41604 KachelY + 1 10117 0.84714089 1.34379453 48.537598 76.993755
    Unten rechts KachelX + 1 41605 KachelY + 1 10117 0.84723676 1.34379453 48.543091 76.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34381611-1.34379453) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dl = 137.486179999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34381611-1.34379453) × R
    2.15799999998545e-05 × 6371000     		dr = 137.486179999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84714089-0.84723676) × cos(1.34381611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225036227103871 × 6371000     		do = 137.449375321984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84714089-0.84723676) × cos(1.34379453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225057253533041 × 6371000     		du = 137.462218007768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34381611)-sin(1.34379453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225036227103871-0.225057253533041)×R²
    abs(0.84723676-0.84714089)×2.10264291701512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10264291701512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10264291701512e-05×40589641000000     		ar = 18898.2724029078m²