Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41603 / 10115
↖ ↑ ↗
← N 76.996227°
E 48.532105°		 ← 137.44 m → N 76.996227°
E 48.537598°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 76.994992°
E 48.532105°		 ← 137.45 m →
18 888 m²		 N 76.994992°
E 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634819030761719 y=0.154350280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634819030761719 × 216)
    floor (0.634819030761719 × 65536)
    floor (41603.5)     		tx = 41603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154350280761719 × 216)
    floor (0.154350280761719 × 65536)
    floor (10115.5)     		ty = 10115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41603 / 10115 ti = "16/41603/10115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41603/10115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41603 ÷ 216
    41603 ÷ 65536     		x = 0.634811401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10115 ÷ 216
    10115 ÷ 65536     		y = 0.154342651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634811401367188 × 2 - 1) × π
    0.269622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84704502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154342651367188 × 2 - 1) × π
    0.691314697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17182917418626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84704502} λ = 0.84704502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17182917418626))-π/2
    2×atan(8.77431912883778)-π/2
    2×1.45731700414651-π/2
    2.91463400829301-1.57079632675     		φ = 1.34383768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84704502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.532105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34383768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.996227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41603 KachelY 10115 0.84704502 1.34383768 48.532105 76.996227
    Oben rechts KachelX + 1 41604 KachelY 10115 0.84714089 1.34383768 48.537598 76.996227
    Unten links KachelX 41603 KachelY + 1 10116 0.84704502 1.34381611 48.532105 76.994992
    Unten rechts KachelX + 1 41604 KachelY + 1 10116 0.84714089 1.34381611 48.537598 76.994992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34383768-1.34381611) × R
    2.15700000001373e-05 × 6371000     		dl = 137.422470000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34383768-1.34381611) × R
    2.15700000001373e-05 × 6371000     		dr = 137.422470000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84704502-0.84714089) × cos(1.34383768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225015210313454 × 6371000     		do = 137.436538523433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84704502-0.84714089) × cos(1.34381611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225036227103871 × 6371000     		du = 137.449375321984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34383768)-sin(1.34381611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225015210313454-0.225036227103871)×R²
    abs(0.84714089-0.84704502)×2.10167904164671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10167904164671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10167904164671e-05×40589641000000     		ar = 18887.7506253773m²