Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41601 / 10114
↖ ↑ ↗
← N 76.997463°
E 48.521118°		 ← 137.42 m → N 76.997463°
E 48.526611°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
N 76.996227°
E 48.521118°		 ← 137.44 m →
18 886 m²		 N 76.996227°
E 48.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634788513183594 y=0.154335021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634788513183594 × 216)
    floor (0.634788513183594 × 65536)
    floor (41601.5)     		tx = 41601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154335021972656 × 216)
    floor (0.154335021972656 × 65536)
    floor (10114.5)     		ty = 10114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41601 / 10114 ti = "16/41601/10114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41601/10114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41601 ÷ 216
    41601 ÷ 65536     		x = 0.634780883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10114 ÷ 216
    10114 ÷ 65536     		y = 0.154327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634780883789062 × 2 - 1) × π
    0.269561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84685327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154327392578125 × 2 - 1) × π
    0.69134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1719250479855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84685327} λ = 0.84685327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1719250479855))-π/2
    2×atan(8.77516039647553)-π/2
    2×1.45732779017419-π/2
    2.91465558034838-1.57079632675     		φ = 1.34385925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84685327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.521118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34385925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.997463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41601 KachelY 10114 0.84685327 1.34385925 48.521118 76.997463
    Oben rechts KachelX + 1 41602 KachelY 10114 0.84694914 1.34385925 48.526611 76.997463
    Unten links KachelX 41601 KachelY + 1 10115 0.84685327 1.34383768 48.521118 76.996227
    Unten rechts KachelX + 1 41602 KachelY + 1 10115 0.84694914 1.34383768 48.526611 76.996227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34385925-1.34383768) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34385925-1.34383768) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84685327-0.84694914) × cos(1.34385925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224994193418346 × 6371000     		do = 137.423701660937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84685327-0.84694914) × cos(1.34383768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225015210313454 × 6371000     		du = 137.436538523433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34385925)-sin(1.34383768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224994193418346-0.225015210313454)×R²
    abs(0.84694914-0.84685327)×2.10168951079448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10168951079448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10168951079448e-05×40589641000000     		ar = 18885.9865561378m²