Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 416 / 733
↖ ↑ ↗
← S 61.100789°
W 33.750000°		 ← 18.892 km → S 61.100789°
W 33.398438°		 →
↑
18.841 km
↓
↑
18.841 km
↓
S 61.270233°
W 33.750000°		 ← 18.791 km →
354.996 km²		 S 61.270233°
W 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40673828125 y=0.71630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40673828125 × 210)
    floor (0.40673828125 × 1024)
    floor (416.5)     		tx = 416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.71630859375 × 210)
    floor (0.71630859375 × 1024)
    floor (733.5)     		ty = 733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 416 / 733 ti = "10/416/733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/416/733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 416 ÷ 210
    416 ÷ 1024     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 733 ÷ 210
    733 ÷ 1024     		y = 0.7158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7158203125 × 2 - 1) × π
    -0.431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35603901645215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35603901645215))-π/2
    2×atan(0.257679422155063)-π/2
    2×0.25219319306831-π/2
    0.504386386136621-1.57079632675     		φ = -1.06640994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06640994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.100789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 416 KachelY 733 -0.58904862 -1.06640994 -33.750000 -61.100789
    Oben rechts KachelX + 1 417 KachelY 733 -0.58291270 -1.06640994 -33.398438 -61.100789
    Unten links KachelX 416 KachelY + 1 734 -0.58904862 -1.06936730 -33.750000 -61.270233
    Unten rechts KachelX + 1 417 KachelY + 1 734 -0.58291270 -1.06936730 -33.398438 -61.270233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06640994--1.06936730) × R
    0.00295735999999991 × 6371000     		dl = 18841.3405599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06640994--1.06936730) × R
    0.00295735999999991 × 6371000     		dr = 18841.3405599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58291270) × cos(-1.06640994) × R
    0.00613592000000007 × 0.483270330661515 × 6371000     		do = 18891.9778242688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58291270) × cos(-1.06936730) × R
    0.00613592000000007 × 0.480679137651468 × 6371000     		du = 18790.6830462153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06640994)-sin(-1.06936730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483270330661515-0.480679137651468)×R²
    abs(-0.58291270--0.58904862)×0.0025911930100464×R²
    0.00613592000000007×0.0025911930100464×6371000²
    0.00613592000000007×0.0025911930100464×40589641000000     		ar = 354996182.06631m²