Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41577 / 8305
↖ ↑ ↗
← N 79.054094°
E 48.389282°		 ← 115.98 m → N 79.054094°
E 48.394775°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
N 79.053051°
E 48.389282°		 ← 115.99 m →
13 449 m²		 N 79.053051°
E 48.394775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634422302246094 y=0.126731872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634422302246094 × 216)
    floor (0.634422302246094 × 65536)
    floor (41577.5)     		tx = 41577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126731872558594 × 216)
    floor (0.126731872558594 × 65536)
    floor (8305.5)     		ty = 8305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41577 / 8305 ti = "16/41577/8305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41577/8305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41577 ÷ 216
    41577 ÷ 65536     		x = 0.634414672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8305 ÷ 216
    8305 ÷ 65536     		y = 0.126724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634414672851562 × 2 - 1) × π
    0.268829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84455230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126724243164062 × 2 - 1) × π
    0.746551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34536075081087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84455230} λ = 0.84455230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34536075081087))-π/2
    2×atan(10.4370372181261)-π/2
    2×1.47527527958417-π/2
    2.95055055916833-1.57079632675     		φ = 1.37975423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84455230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.389282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37975423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.054094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41577 KachelY 8305 0.84455230 1.37975423 48.389282 79.054094
    Oben rechts KachelX + 1 41578 KachelY 8305 0.84464817 1.37975423 48.394775 79.054094
    Unten links KachelX 41577 KachelY + 1 8306 0.84455230 1.37973603 48.389282 79.053051
    Unten rechts KachelX + 1 41578 KachelY + 1 8306 0.84464817 1.37973603 48.394775 79.053051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37975423-1.37973603) × R
    1.82000000001903e-05 × 6371000     		dl = 115.952200001212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37975423-1.37973603) × R
    1.82000000001903e-05 × 6371000     		dr = 115.952200001212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84455230-0.84464817) × cos(1.37975423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189882135710137 × 6371000     		do = 115.97768623323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84455230-0.84464817) × cos(1.37973603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189900004564135 × 6371000     		du = 115.988600310715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37975423)-sin(1.37973603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189882135710137-0.189900004564135)×R²
    abs(0.84464817-0.84455230)×1.78688539979321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78688539979321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78688539979321e-05×40589641000000     		ar = 13448.5006258769m²