Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41568 / 8300
↖ ↑ ↗
← N 79.059308°
E 48.339844°		 ← 115.94 m → N 79.059308°
E 48.345337°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 79.058266°
E 48.339844°		 ← 115.95 m →
13 436 m²		 N 79.058266°
E 48.345337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634284973144531 y=0.126655578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634284973144531 × 216)
    floor (0.634284973144531 × 65536)
    floor (41568.5)     		tx = 41568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126655578613281 × 216)
    floor (0.126655578613281 × 65536)
    floor (8300.5)     		ty = 8300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41568 / 8300 ti = "16/41568/8300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41568/8300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41568 ÷ 216
    41568 ÷ 65536     		x = 0.63427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8300 ÷ 216
    8300 ÷ 65536     		y = 0.12664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84368943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12664794921875 × 2 - 1) × π
    0.7467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34584011980707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84368943} λ = 0.84368943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34584011980707))-π/2
    2×atan(10.4420416095598)-π/2
    2×1.47532078067961-π/2
    2.95064156135921-1.57079632675     		φ = 1.37984523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84368943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37984523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.059308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41568 KachelY 8300 0.84368943 1.37984523 48.339844 79.059308
    Oben rechts KachelX + 1 41569 KachelY 8300 0.84378531 1.37984523 48.345337 79.059308
    Unten links KachelX 41568 KachelY + 1 8301 0.84368943 1.37982704 48.339844 79.058266
    Unten rechts KachelX + 1 41569 KachelY + 1 8301 0.84378531 1.37982704 48.345337 79.058266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37984523-1.37982704) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37984523-1.37982704) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84368943-0.84378531) × cos(1.37984523) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189792790496819 × 6371000     		do = 115.93520696837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84368943-0.84378531) × cos(1.37982704) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189810649847033 × 6371000     		du = 115.94611637888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37984523)-sin(1.37982704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189792790496819-0.189810649847033)×R²
    abs(0.84378531-0.84368943)×1.78593502142277e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78593502142277e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78593502142277e-05×40589641000000     		ar = 13436.1882113756m²