Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41552 / 10288
↖ ↑ ↗
← N 76.780655°
E 48.251953°		 ← 139.69 m → N 76.780655°
E 48.257446°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
N 76.779398°
E 48.251953°		 ← 139.70 m →
19 518 m²		 N 76.779398°
E 48.257446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634040832519531 y=0.156990051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634040832519531 × 216)
    floor (0.634040832519531 × 65536)
    floor (41552.5)     		tx = 41552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156990051269531 × 216)
    floor (0.156990051269531 × 65536)
    floor (10288.5)     		ty = 10288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41552 / 10288 ti = "16/41552/10288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41552/10288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41552 ÷ 216
    41552 ÷ 65536     		x = 0.634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10288 ÷ 216
    10288 ÷ 65536     		y = 0.156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634033203125 × 2 - 1) × π
    0.26806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84215545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    0.68603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84215545} λ = 0.84215545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15524300691772))-π/2
    2×atan(8.62998707073689)-π/2
    2×1.45543577845478-π/2
    2.91087155690956-1.57079632675     		φ = 1.34007523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84215545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.251953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34007523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.780655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41552 KachelY 10288 0.84215545 1.34007523 48.251953 76.780655
    Oben rechts KachelX + 1 41553 KachelY 10288 0.84225133 1.34007523 48.257446 76.780655
    Unten links KachelX 41552 KachelY + 1 10289 0.84215545 1.34005330 48.251953 76.779398
    Unten rechts KachelX + 1 41553 KachelY + 1 10289 0.84225133 1.34005330 48.257446 76.779398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34007523-1.34005330) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dl = 139.716030001082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34007523-1.34005330) × R
    2.19300000001699e-05 × 6371000     		dr = 139.716030001082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84215545-0.84225133) × cos(1.34007523) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228679571919137 × 6371000     		do = 139.68925495248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84215545-0.84225133) × cos(1.34005330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.228700920757481 × 6371000     		du = 139.702295921978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34007523)-sin(1.34005330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228679571919137-0.228700920757481)×R²
    abs(0.84225133-0.84215545)×2.13488383435656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.13488383435656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.13488383435656e-05×40589641000000     		ar = 19517.7391530183m²