Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 41536 / 22976
↖ ↑ ↗
← N 75.185789°
W 65.917969°		 ← 78.09 m → N 75.185789°
W 65.915222°		 →
↑
78.04 m
↓
↑
78.04 m
↓
N 75.185087°
W 65.917969°		 ← 78.10 m →
6 095 m²		 N 75.185087°
W 65.915222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.316898345947266 y=0.175296783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.316898345947266 × 217)
    floor (0.316898345947266 × 131072)
    floor (41536.5)     		tx = 41536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175296783447266 × 217)
    floor (0.175296783447266 × 131072)
    floor (22976.5)     		ty = 22976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 41536 / 22976 ti = "17/41536/22976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/41536/22976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41536 ÷ 217
    41536 ÷ 131072     		x = 0.31689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22976 ÷ 217
    22976 ÷ 131072     		y = 0.17529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.31689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.15048559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17529296875 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04019444782959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.15048559} λ = -1.15048559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04019444782959))-π/2
    2×atan(7.69210476654618)-π/2
    2×1.44151795020831-π/2
    2.88303590041663-1.57079632675     		φ = 1.31223957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.15048559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -65.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31223957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.185789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41536 KachelY 22976 -1.15048559 1.31223957 -65.917969 75.185789
    Oben rechts KachelX + 1 41537 KachelY 22976 -1.15043765 1.31223957 -65.915222 75.185789
    Unten links KachelX 41536 KachelY + 1 22977 -1.15048559 1.31222732 -65.917969 75.185087
    Unten rechts KachelX + 1 41537 KachelY + 1 22977 -1.15043765 1.31222732 -65.915222 75.185087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31223957-1.31222732) × R
    1.22499999999359e-05 × 6371000     		dl = 78.0447499995918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31223957-1.31222732) × R
    1.22499999999359e-05 × 6371000     		dr = 78.0447499995918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.15048559--1.15043765) × cos(1.31223957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.255685548863883 × 6371000     		do = 78.0929479690066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.15048559--1.15043765) × cos(1.31222732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.255697391654715 × 6371000     		du = 78.0965650621598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31223957)-sin(1.31222732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255685548863883-0.255697391654715)×R²
    abs(-1.15043765--1.15048559)×1.1842790831107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.1842790831107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.1842790831107e-05×40589641000000     		ar = 6094.88574868859m²