Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41531 / 8245
↖ ↑ ↗
← N 79.116501°
E 48.136597°		 ← 115.34 m → N 79.116501°
E 48.142090°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
N 79.115464°
E 48.136597°		 ← 115.35 m →
13 308 m²		 N 79.115464°
E 48.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633720397949219 y=0.125816345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633720397949219 × 216)
    floor (0.633720397949219 × 65536)
    floor (41531.5)     		tx = 41531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125816345214844 × 216)
    floor (0.125816345214844 × 65536)
    floor (8245.5)     		ty = 8245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41531 / 8245 ti = "16/41531/8245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41531/8245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41531 ÷ 216
    41531 ÷ 65536     		x = 0.633712768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8245 ÷ 216
    8245 ÷ 65536     		y = 0.125808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633712768554688 × 2 - 1) × π
    0.267425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84014210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125808715820312 × 2 - 1) × π
    0.748382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35111317876527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84014210} λ = 0.84014210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35111317876527))-π/2
    2×atan(10.4972485373841)-π/2
    2×1.47581988177956-π/2
    2.95163976355912-1.57079632675     		φ = 1.38084344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84014210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.136597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38084344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.116501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41531 KachelY 8245 0.84014210 1.38084344 48.136597 79.116501
    Oben rechts KachelX + 1 41532 KachelY 8245 0.84023798 1.38084344 48.142090 79.116501
    Unten links KachelX 41531 KachelY + 1 8246 0.84014210 1.38082533 48.136597 79.115464
    Unten rechts KachelX + 1 41532 KachelY + 1 8246 0.84023798 1.38082533 48.142090 79.115464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38084344-1.38082533) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38084344-1.38082533) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84014210-0.84023798) × cos(1.38084344) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188812629399975 × 6371000     		do = 115.336474111724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84014210-0.84023798) × cos(1.38082533) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.188830413626828 × 6371000     		du = 115.347337633018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38084344)-sin(1.38082533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188812629399975-0.188830413626828)×R²
    abs(0.84023798-0.84014210)×1.77842268529183e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.77842268529183e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.77842268529183e-05×40589641000000     		ar = 13308.0118431847m²