Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4153 / 3863
↖ ↑ ↗
← N 79.641850°
W134.373779°		 ← 219.65 m → N 79.641850°
W134.362793°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
N 79.639874°
W134.373779°		 ← 219.69 m →
48 256 m²		 N 79.639874°
W134.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126754760742188 y=0.117904663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126754760742188 × 215)
    floor (0.126754760742188 × 32768)
    floor (4153.5)     		tx = 4153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117904663085938 × 215)
    floor (0.117904663085938 × 32768)
    floor (3863.5)     		ty = 3863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4153 / 3863 ti = "15/4153/3863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4153/3863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4153 ÷ 215
    4153 ÷ 32768     		x = 0.126739501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3863 ÷ 215
    3863 ÷ 32768     		y = 0.117889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.74652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34526488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117889404296875 × 2 - 1) × π
    0.76422119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40087168057089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34526488} λ = -2.34526488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40087168057089))-π/2
    2×atan(11.0327892583928)-π/2
    2×1.48040441176556-π/2
    2.96080882353111-1.57079632675     		φ = 1.39001250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34526488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39001250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.641850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4153 KachelY 3863 -2.34526488 1.39001250 -134.373779 79.641850
    Oben rechts KachelX + 1 4154 KachelY 3863 -2.34507313 1.39001250 -134.362793 79.641850
    Unten links KachelX 4153 KachelY + 1 3864 -2.34526488 1.38997802 -134.373779 79.639874
    Unten rechts KachelX + 1 4154 KachelY + 1 3864 -2.34507313 1.38997802 -134.362793 79.639874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39001250-1.38997802) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39001250-1.38997802) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34526488--2.34507313) × cos(1.39001250) × R
    0.000191750000000379 × 0.179800681398767 × 6371000     		do = 219.651569573913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34526488--2.34507313) × cos(1.38997802) × R
    0.000191750000000379 × 0.179834599373472 × 6371000     		du = 219.693005103093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39001250)-sin(1.38997802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179800681398767-0.179834599373472)×R²
    abs(-2.34507313--2.34526488)×3.39179747049223e-05×R²
    0.000191750000000379×3.39179747049223e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.39179747049223e-05×40589641000000     		ar = 48255.8682831369m²