Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41525 / 8307
↖ ↑ ↗
← N 79.052008°
E 48.103638°		 ← 116 m → N 79.052008°
E 48.109131°		 →
↑
116.02 m
↓
↑
116.02 m
↓
N 79.050965°
E 48.103638°		 ← 116.01 m →
13 458 m²		 N 79.050965°
E 48.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633628845214844 y=0.126762390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633628845214844 × 216)
    floor (0.633628845214844 × 65536)
    floor (41525.5)     		tx = 41525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126762390136719 × 216)
    floor (0.126762390136719 × 65536)
    floor (8307.5)     		ty = 8307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41525 / 8307 ti = "16/41525/8307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41525/8307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41525 ÷ 216
    41525 ÷ 65536     		x = 0.633621215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8307 ÷ 216
    8307 ÷ 65536     		y = 0.126754760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633621215820312 × 2 - 1) × π
    0.267242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83956686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126754760742188 × 2 - 1) × π
    0.746490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34516900321239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83956686} λ = 0.83956686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34516900321239))-π/2
    2×atan(10.435036133162)-π/2
    2×1.47525707314893-π/2
    2.95051414629785-1.57079632675     		φ = 1.37971782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83956686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.103638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37971782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.052008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41525 KachelY 8307 0.83956686 1.37971782 48.103638 79.052008
    Oben rechts KachelX + 1 41526 KachelY 8307 0.83966273 1.37971782 48.109131 79.052008
    Unten links KachelX 41525 KachelY + 1 8308 0.83956686 1.37969961 48.103638 79.050965
    Unten rechts KachelX + 1 41526 KachelY + 1 8308 0.83966273 1.37969961 48.109131 79.050965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37971782-1.37969961) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dl = 116.01590999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37971782-1.37969961) × R
    1.82099999999075e-05 × 6371000     		dr = 116.01590999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83956686-0.83966273) × cos(1.37971782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18991788317323 × 6371000     		do = 115.999520346495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83956686-0.83966273) × cos(1.37969961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189935761719348 × 6371000     		du = 116.010440343809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37971782)-sin(1.37969961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18991788317323-0.189935761719348)×R²
    abs(0.83966273-0.83956686)×1.7878546117428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7878546117428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7878546117428e-05×40589641000000     		ar = 13458.423359388m²