Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4151 / 12491
↖ ↑ ↗
← N 39.274790°
W134.395752°		 ← 945.69 m → N 39.274790°
W134.384765°		 →
↑
945.71 m
↓
↑
945.71 m
↓
N 39.266285°
W134.395752°		 ← 945.81 m →
894 408 m²		 N 39.266285°
W134.384765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126693725585938 y=0.381210327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126693725585938 × 215)
    floor (0.126693725585938 × 32768)
    floor (4151.5)     		tx = 4151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381210327148438 × 215)
    floor (0.381210327148438 × 32768)
    floor (12491.5)     		ty = 12491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4151 / 12491 ti = "15/4151/12491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4151/12491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4151 ÷ 215
    4151 ÷ 32768     		x = 0.126678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12491 ÷ 215
    12491 ÷ 32768     		y = 0.381195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.74664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34564837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381195068359375 × 2 - 1) × π
    0.23760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.746473400883514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34564837} λ = -2.34564837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.746473400883514))-π/2
    2×atan(2.10954735522302)-π/2
    2×1.12813535970166-π/2
    2.25627071940333-1.57079632675     		φ = 0.68547439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34564837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68547439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.274790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4151 KachelY 12491 -2.34564837 0.68547439 -134.395752 39.274790
    Oben rechts KachelX + 1 4152 KachelY 12491 -2.34545662 0.68547439 -134.384765 39.274790
    Unten links KachelX 4151 KachelY + 1 12492 -2.34564837 0.68532595 -134.395752 39.266285
    Unten rechts KachelX + 1 4152 KachelY + 1 12492 -2.34545662 0.68532595 -134.384765 39.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68547439-0.68532595) × R
    0.000148440000000027 × 6371000     		dl = 945.711240000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68547439-0.68532595) × R
    0.000148440000000027 × 6371000     		dr = 945.711240000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34564837--2.34545662) × cos(0.68547439) × R
    0.000191749999999935 × 0.77411882621336 × 6371000     		do = 945.693942265849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34564837--2.34545662) × cos(0.68532595) × R
    0.000191749999999935 × 0.77421278618903 × 6371000     		du = 945.808727460056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68547439)-sin(0.68532595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77411882621336-0.77421278618903)×R²
    abs(-2.34545662--2.34564837)×9.39599756700771e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39599756700771e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39599756700771e-05×40589641000000     		ar = 894407.669266804m²