Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41506 / 10792
↖ ↑ ↗
← N 76.132429°
E 47.999268°		 ← 146.39 m → N 76.132429°
E 48.004761°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
N 76.131113°
E 47.999268°		 ← 146.41 m →
21 434 m²		 N 76.131113°
E 48.004761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633338928222656 y=0.164680480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633338928222656 × 216)
    floor (0.633338928222656 × 65536)
    floor (41506.5)     		tx = 41506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164680480957031 × 216)
    floor (0.164680480957031 × 65536)
    floor (10792.5)     		ty = 10792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41506 / 10792 ti = "16/41506/10792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41506/10792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41506 ÷ 216
    41506 ÷ 65536     		x = 0.633331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10792 ÷ 216
    10792 ÷ 65536     		y = 0.1646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633331298828125 × 2 - 1) × π
    0.26666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83774526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    0.670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10692261210071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83774526} λ = 0.83774526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10692261210071))-π/2
    2×atan(8.22289726340035)-π/2
    2×1.4497789457318-π/2
    2.89955789146361-1.57079632675     		φ = 1.32876156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83774526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32876156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.132429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41506 KachelY 10792 0.83774526 1.32876156 47.999268 76.132429
    Oben rechts KachelX + 1 41507 KachelY 10792 0.83784113 1.32876156 48.004761 76.132429
    Unten links KachelX 41506 KachelY + 1 10793 0.83774526 1.32873858 47.999268 76.131113
    Unten rechts KachelX + 1 41507 KachelY + 1 10793 0.83784113 1.32873858 48.004761 76.131113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32876156-1.32873858) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dl = 146.405580000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32876156-1.32873858) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dr = 146.405580000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83774526-0.83784113) × cos(1.32876156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239678579244088 × 6371000     		do = 146.392744933262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83774526-0.83784113) × cos(1.32873858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23970088936654 × 6371000     		du = 146.406371683202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32876156)-sin(1.32873858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239678579244088-0.23970088936654)×R²
    abs(0.83784113-0.83774526)×2.2310122451713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2310122451713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2310122451713e-05×40589641000000     		ar = 21433.7122468259m²