Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41500 / 8131
↖ ↑ ↗
← N 79.234107°
E 47.966308°		 ← 114.10 m → N 79.234107°
E 47.971802°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
N 79.233081°
E 47.966308°		 ← 114.12 m →
13 021 m²		 N 79.233081°
E 47.971802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633247375488281 y=0.124076843261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633247375488281 × 216)
    floor (0.633247375488281 × 65536)
    floor (41500.5)     		tx = 41500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124076843261719 × 216)
    floor (0.124076843261719 × 65536)
    floor (8131.5)     		ty = 8131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41500 / 8131 ti = "16/41500/8131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41500/8131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41500 ÷ 216
    41500 ÷ 65536     		x = 0.63323974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8131 ÷ 216
    8131 ÷ 65536     		y = 0.124069213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63323974609375 × 2 - 1) × π
    0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124069213867188 × 2 - 1) × π
    0.751861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36204279187865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83717001} λ = 0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36204279187865))-π/2
    2×atan(10.612608675116)-π/2
    2×1.47684618802863-π/2
    2.95369237605727-1.57079632675     		φ = 1.38289605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38289605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.234107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41500 KachelY 8131 0.83717001 1.38289605 47.966308 79.234107
    Oben rechts KachelX + 1 41501 KachelY 8131 0.83726589 1.38289605 47.971802 79.234107
    Unten links KachelX 41500 KachelY + 1 8132 0.83717001 1.38287814 47.966308 79.233081
    Unten rechts KachelX + 1 41501 KachelY + 1 8132 0.83726589 1.38287814 47.971802 79.233081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38289605-1.38287814) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38289605-1.38287814) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83717001-0.83726589) × cos(1.38289605) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186796543087699 × 6371000     		do = 114.10494480393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83717001-0.83726589) × cos(1.38287814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18681413781705 × 6371000     		du = 114.115692570394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38289605)-sin(1.38287814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186796543087699-0.18681413781705)×R²
    abs(0.83726589-0.83717001)×1.75947293505896e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75947293505896e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75947293505896e-05×40589641000000     		ar = 13020.5134110425m²