Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 415 / 91
↖ ↑ ↗
← N 81.361287°
W 34.101563°		 ← 5 871.75 m → N 81.361287°
W 33.750000°		 →
↑
5 889.61 m
↓
↑
5 889.61 m
↓
N 81.308321°
W 34.101563°		 ← 5 907.48 m →
34 687 520 m²		 N 81.308321°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 91 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40576171875 y=0.08935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40576171875 × 210)
    floor (0.40576171875 × 1024)
    floor (415.5)     		tx = 415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08935546875 × 210)
    floor (0.08935546875 × 1024)
    floor (91.5)     		ty = 91
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 415 / 91 ti = "10/415/91"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/415/91.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 415 ÷ 210
    415 ÷ 1024     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 91 ÷ 210
    91 ÷ 1024     		y = 0.0888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0888671875 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58322364672559))-π/2
    2×atan(13.2397497162751)-π/2
    2×1.49540933657084-π/2
    2.99081867314168-1.57079632675     		φ = 1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 415 KachelY 91 -0.59518455 1.42002235 -34.101563 81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 416 KachelY 91 -0.58904862 1.42002235 -33.750000 81.361287
    Unten links KachelX 415 KachelY + 1 92 -0.59518455 1.41909791 -34.101563 81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 416 KachelY + 1 92 -0.58904862 1.41909791 -33.750000 81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42002235-1.41909791) × R
    0.000924439999999915 × 6371000     		dl = 5889.60723999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42002235-1.41909791) × R
    0.000924439999999915 × 6371000     		dr = 5889.60723999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.58904862) × cos(1.42002235) × R
    0.00613593000000001 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 5871.75178368594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.58904862) × cos(1.41909791) × R
    0.00613593000000001 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 5907.47750364266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42002235)-sin(1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.151117261535263)×R²
    abs(-0.58904862--0.59518455)×0.000913888027995857×R²
    0.00613593000000001×0.000913888027995857×6371000²
    0.00613593000000001×0.000913888027995857×40589641000000     		ar = 34687519.5164331m²