Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41498 / 10799
↖ ↑ ↗
← N 76.123210°
E 47.955322°		 ← 146.49 m → N 76.123210°
E 47.960815°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
N 76.121893°
E 47.955322°		 ← 146.50 m →
21 457 m²		 N 76.121893°
E 47.960815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633216857910156 y=0.164787292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633216857910156 × 216)
    floor (0.633216857910156 × 65536)
    floor (41498.5)     		tx = 41498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164787292480469 × 216)
    floor (0.164787292480469 × 65536)
    floor (10799.5)     		ty = 10799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41498 / 10799 ti = "16/41498/10799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41498/10799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41498 ÷ 216
    41498 ÷ 65536     		x = 0.633209228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10799 ÷ 216
    10799 ÷ 65536     		y = 0.164779663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633209228515625 × 2 - 1) × π
    0.26641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83697827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164779663085938 × 2 - 1) × π
    0.670440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10625149550603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83697827} λ = 0.83697827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10625149550603))-π/2
    2×atan(8.21738059196246)-π/2
    2×1.44969849339099-π/2
    2.89939698678198-1.57079632675     		φ = 1.32860066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83697827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32860066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.123210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41498 KachelY 10799 0.83697827 1.32860066 47.955322 76.123210
    Oben rechts KachelX + 1 41499 KachelY 10799 0.83707414 1.32860066 47.960815 76.123210
    Unten links KachelX 41498 KachelY + 1 10800 0.83697827 1.32857767 47.955322 76.121893
    Unten rechts KachelX + 1 41499 KachelY + 1 10800 0.83707414 1.32857767 47.960815 76.121893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32860066-1.32857767) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dl = 146.46928999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32860066-1.32857767) × R
    2.2989999999945e-05 × 6371000     		dr = 146.46928999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83697827-0.83707414) × cos(1.32860066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239834786275178 × 6371000     		do = 146.48815427744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83697827-0.83707414) × cos(1.32857767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239857105219175 × 6371000     		du = 146.501786415472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32860066)-sin(1.32857767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239834786275178-0.239857105219175)×R²
    abs(0.83707414-0.83697827)×2.231894399643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.231894399643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.231894399643e-05×40589641000000     		ar = 21457.0142961434m²