Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41497 / 10801
↖ ↑ ↗
← N 76.120575°
E 47.949829°		 ← 146.53 m → N 76.120575°
E 47.955322°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
N 76.119258°
E 47.949829°		 ← 146.54 m →
21 473 m²		 N 76.119258°
E 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633201599121094 y=0.164817810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633201599121094 × 216)
    floor (0.633201599121094 × 65536)
    floor (41497.5)     		tx = 41497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164817810058594 × 216)
    floor (0.164817810058594 × 65536)
    floor (10801.5)     		ty = 10801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41497 / 10801 ti = "16/41497/10801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41497/10801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41497 ÷ 216
    41497 ÷ 65536     		x = 0.633193969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10801 ÷ 216
    10801 ÷ 65536     		y = 0.164810180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633193969726562 × 2 - 1) × π
    0.266387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83688239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164810180664062 × 2 - 1) × π
    0.670379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10605974790755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83688239} λ = 0.83688239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10605974790755))-π/2
    2×atan(8.2158050800233)-π/2
    2×1.44967549737855-π/2
    2.8993509947571-1.57079632675     		φ = 1.32855467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83688239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.949829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32855467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.120575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41497 KachelY 10801 0.83688239 1.32855467 47.949829 76.120575
    Oben rechts KachelX + 1 41498 KachelY 10801 0.83697827 1.32855467 47.955322 76.120575
    Unten links KachelX 41497 KachelY + 1 10802 0.83688239 1.32853167 47.949829 76.119258
    Unten rechts KachelX + 1 41498 KachelY + 1 10802 0.83697827 1.32853167 47.955322 76.119258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32855467-1.32853167) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dl = 146.532999999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32855467-1.32853167) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dr = 146.532999999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83688239-0.83697827) × cos(1.32855467) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.239879433744424 × 6371000     		do = 146.530707124417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83688239-0.83697827) × cos(1.32853167) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.239901762142777 × 6371000     		du = 146.544346459597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32855467)-sin(1.32853167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239879433744424-0.239901762142777)×R²
    abs(0.83697827-0.83688239)×2.23283983529221e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.23283983529221e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.23283983529221e-05×40589641000000     		ar = 21472.5834141087m²