Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41492 / 10748
↖ ↑ ↗
← N 76.190241°
E 47.922363°		 ← 145.81 m → N 76.190241°
E 47.927857°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
N 76.188930°
E 47.922363°		 ← 145.82 m →
21 265 m²		 N 76.188930°
E 47.927857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633125305175781 y=0.164009094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633125305175781 × 216)
    floor (0.633125305175781 × 65536)
    floor (41492.5)     		tx = 41492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164009094238281 × 216)
    floor (0.164009094238281 × 65536)
    floor (10748.5)     		ty = 10748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41492 / 10748 ti = "16/41492/10748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41492/10748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41492 ÷ 216
    41492 ÷ 65536     		x = 0.63311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10748 ÷ 216
    10748 ÷ 65536     		y = 0.16400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63311767578125 × 2 - 1) × π
    0.2662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83640302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16400146484375 × 2 - 1) × π
    0.6719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11114105926727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83640302} λ = 0.83640302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11114105926727))-π/2
    2×atan(8.25765838849824)-π/2
    2×1.4502834475521-π/2
    2.9005668951042-1.57079632675     		φ = 1.32977057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83640302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32977057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.190241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41492 KachelY 10748 0.83640302 1.32977057 47.922363 76.190241
    Oben rechts KachelX + 1 41493 KachelY 10748 0.83649890 1.32977057 47.927857 76.190241
    Unten links KachelX 41492 KachelY + 1 10749 0.83640302 1.32974768 47.922363 76.188930
    Unten rechts KachelX + 1 41493 KachelY + 1 10749 0.83649890 1.32974768 47.927857 76.188930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32977057-1.32974768) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dl = 145.832189999278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32977057-1.32974768) × R
    2.28899999998866e-05 × 6371000     		dr = 145.832189999278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83640302-0.83649890) × cos(1.32977057) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.238698857727649 × 6371000     		do = 145.809550517317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83640302-0.83649890) × cos(1.32974768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.238721085998506 × 6371000     		du = 145.823128689468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32977057)-sin(1.32974768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238698857727649-0.238721085998506)×R²
    abs(0.83649890-0.83640302)×2.22282708567112e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.22282708567112e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.22282708567112e-05×40589641000000     		ar = 21264.7161428347m²