Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4149 / 12501
↖ ↑ ↗
← N 39.189691°
W134.417725°		 ← 946.84 m → N 39.189691°
W134.406738°		 →
↑
946.92 m
↓
↑
946.92 m
↓
N 39.181175°
W134.417725°		 ← 946.96 m →
896 639 m²		 N 39.181175°
W134.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126632690429688 y=0.381515502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126632690429688 × 215)
    floor (0.126632690429688 × 32768)
    floor (4149.5)     		tx = 4149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381515502929688 × 215)
    floor (0.381515502929688 × 32768)
    floor (12501.5)     		ty = 12501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4149 / 12501 ti = "15/4149/12501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4149/12501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4149 ÷ 215
    4149 ÷ 32768     		x = 0.126617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12501 ÷ 215
    12501 ÷ 32768     		y = 0.381500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.74676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34603187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381500244140625 × 2 - 1) × π
    0.23699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.744555924898712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34603187} λ = -2.34603187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744555924898712))-π/2
    2×atan(2.10550622445435)-π/2
    2×1.12739273222257-π/2
    2.25478546444514-1.57079632675     		φ = 0.68398914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34603187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.417725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68398914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.189691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4149 KachelY 12501 -2.34603187 0.68398914 -134.417725 39.189691
    Oben rechts KachelX + 1 4150 KachelY 12501 -2.34584012 0.68398914 -134.406738 39.189691
    Unten links KachelX 4149 KachelY + 1 12502 -2.34603187 0.68384051 -134.417725 39.181175
    Unten rechts KachelX + 1 4150 KachelY + 1 12502 -2.34584012 0.68384051 -134.406738 39.181175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68398914-0.68384051) × R
    0.000148629999999983 × 6371000     		dl = 946.921729999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68398914-0.68384051) × R
    0.000148629999999983 × 6371000     		dr = 946.921729999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34603187--2.34584012) × cos(0.68398914) × R
    0.000191749999999935 × 0.775058195158094 × 6371000     		do = 946.841512238967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34603187--2.34584012) × cos(0.68384051) × R
    0.000191749999999935 × 0.775152104386658 × 6371000     		du = 946.956235438518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68398914)-sin(0.68384051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775058195158094-0.775152104386658)×R²
    abs(-2.34584012--2.34603187)×9.39092285646703e-05×R²
    0.000191749999999935×9.39092285646703e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.39092285646703e-05×40589641000000     		ar = 896639.121400988m²