Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41489 / 10744
↖ ↑ ↗
← N 76.195485°
E 47.905884°		 ← 145.76 m → N 76.195485°
E 47.911377°		 →
↑
145.77 m
↓
↑
145.77 m
↓
N 76.194174°
E 47.905884°		 ← 145.77 m →
21 248 m²		 N 76.194174°
E 47.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633079528808594 y=0.163948059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633079528808594 × 216)
    floor (0.633079528808594 × 65536)
    floor (41489.5)     		tx = 41489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163948059082031 × 216)
    floor (0.163948059082031 × 65536)
    floor (10744.5)     		ty = 10744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41489 / 10744 ti = "16/41489/10744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41489/10744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41489 ÷ 216
    41489 ÷ 65536     		x = 0.633071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10744 ÷ 216
    10744 ÷ 65536     		y = 0.1639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633071899414062 × 2 - 1) × π
    0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1639404296875 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11152455446423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83611540} λ = 0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11152455446423))-π/2
    2×atan(8.26082576812699)-π/2
    2×1.45032920896355-π/2
    2.90065841792711-1.57079632675     		φ = 1.32986209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32986209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.195485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41489 KachelY 10744 0.83611540 1.32986209 47.905884 76.195485
    Oben rechts KachelX + 1 41490 KachelY 10744 0.83621128 1.32986209 47.911377 76.195485
    Unten links KachelX 41489 KachelY + 1 10745 0.83611540 1.32983921 47.905884 76.194174
    Unten rechts KachelX + 1 41490 KachelY + 1 10745 0.83621128 1.32983921 47.911377 76.194174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32986209-1.32983921) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dl = 145.768479999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32986209-1.32983921) × R
    2.28799999999474e-05 × 6371000     		dr = 145.768479999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83611540-0.83621128) × cos(1.32986209) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.23860998223829 × 6371000     		do = 145.755260793106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83611540-0.83621128) × cos(1.32983921) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.238632201298025 × 6371000     		du = 145.76883333863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32986209)-sin(1.32983921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23860998223829-0.238632201298025)×R²
    abs(0.83621128-0.83611540)×2.221905973529e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.221905973529e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.221905973529e-05×40589641000000     		ar = 21247.5120432497m²