Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41487 / 10726
↖ ↑ ↗
← N 76.219058°
E 47.894898°		 ← 145.50 m → N 76.219058°
E 47.900391°		 →
↑
145.51 m
↓
↑
145.51 m
↓
N 76.217750°
E 47.894898°		 ← 145.51 m →
21 173 m²		 N 76.217750°
E 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633049011230469 y=0.163673400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633049011230469 × 216)
    floor (0.633049011230469 × 65536)
    floor (41487.5)     		tx = 41487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163673400878906 × 216)
    floor (0.163673400878906 × 65536)
    floor (10726.5)     		ty = 10726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41487 / 10726 ti = "16/41487/10726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41487/10726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41487 ÷ 216
    41487 ÷ 65536     		x = 0.633041381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10726 ÷ 216
    10726 ÷ 65536     		y = 0.163665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633041381835938 × 2 - 1) × π
    0.266082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.83592366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163665771484375 × 2 - 1) × π
    0.67266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11325028285056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83592366} λ = 0.83592366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11325028285056))-π/2
    2×atan(8.27509401767007)-π/2
    2×1.45053492454098-π/2
    2.90106984908196-1.57079632675     		φ = 1.33027352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83592366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.894898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33027352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.219058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41487 KachelY 10726 0.83592366 1.33027352 47.894898 76.219058
    Oben rechts KachelX + 1 41488 KachelY 10726 0.83601953 1.33027352 47.900391 76.219058
    Unten links KachelX 41487 KachelY + 1 10727 0.83592366 1.33025068 47.894898 76.217750
    Unten rechts KachelX + 1 41488 KachelY + 1 10727 0.83601953 1.33025068 47.900391 76.217750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33027352-1.33025068) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dl = 145.513639999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33027352-1.33025068) × R
    2.28399999999684e-05 × 6371000     		dr = 145.513639999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83592366-0.83601953) × cos(1.33027352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238210416012129 × 6371000     		do = 145.496008786817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83592366-0.83601953) × cos(1.33025068) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238232598467923 × 6371000     		du = 145.509557559525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33027352)-sin(1.33025068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238210416012129-0.238232598467923)×R²
    abs(0.83601953-0.83592366)×2.21824557937733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.21824557937733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.21824557937733e-05×40589641000000     		ar = 21172.6396106337m²