Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41486 / 10766
↖ ↑ ↗
← N 76.166619°
E 47.889404°		 ← 146.05 m → N 76.166619°
E 47.894898°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
N 76.165306°
E 47.889404°		 ← 146.07 m →
21 328 m²		 N 76.165306°
E 47.894898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633033752441406 y=0.164283752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633033752441406 × 216)
    floor (0.633033752441406 × 65536)
    floor (41486.5)     		tx = 41486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164283752441406 × 216)
    floor (0.164283752441406 × 65536)
    floor (10766.5)     		ty = 10766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41486 / 10766 ti = "16/41486/10766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41486/10766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41486 ÷ 216
    41486 ÷ 65536     		x = 0.633026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10766 ÷ 216
    10766 ÷ 65536     		y = 0.164276123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633026123046875 × 2 - 1) × π
    0.26605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.83582778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164276123046875 × 2 - 1) × π
    0.67144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10941533088095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83582778} λ = 0.83582778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10941533088095))-π/2
    2×atan(8.24342020216743)-π/2
    2×1.45007731018045-π/2
    2.90015462036091-1.57079632675     		φ = 1.32935829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83582778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32935829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.166619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41486 KachelY 10766 0.83582778 1.32935829 47.889404 76.166619
    Oben rechts KachelX + 1 41487 KachelY 10766 0.83592366 1.32935829 47.894898 76.166619
    Unten links KachelX 41486 KachelY + 1 10767 0.83582778 1.32933537 47.889404 76.165306
    Unten rechts KachelX + 1 41487 KachelY + 1 10767 0.83592366 1.32933537 47.894898 76.165306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32935829-1.32933537) × R
    2.29200000001484e-05 × 6371000     		dl = 146.023320000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32935829-1.32933537) × R
    2.29200000001484e-05 × 6371000     		dr = 146.023320000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83582778-0.83592366) × cos(1.32935829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239099199915317 × 6371000     		do = 146.054100134991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83582778-0.83592366) × cos(1.32933537) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239121455061247 × 6371000     		du = 146.067694723821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32935829)-sin(1.32933537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239099199915317-0.239121455061247)×R²
    abs(0.83592366-0.83582778)×2.22551459306553e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22551459306553e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22551459306553e-05×40589641000000     		ar = 21328.29716584m²